учитель методист РСШ С.И. Абрамова с.Ракиты 2013 г.

Введение: Для того, чтобы научиться решать задачи конкурсного типа самостоятельно или под руководством учителя, необходимо ознакомиться с некоторым минимумом решения таких задач этот минимум не должен состоять из большого числа задач. Необходимо познакомить ученика с большим количеством приемов решений, которые составляют суть задач конкурсного типа.

Подробнее рассмотрим задачи на концентрации растворов и на процентное содержание, то есть на смеси.

Концентрацию вещества в смеси можно выразить в процентах. Считая, что вся смесь составляет 100%,заключаем,что процентное содержание первого и второго веществ равны соответственно: Р1=С1 * 100%, Р2=С2 * 100%, при этом Р1+Р2=(С1+ С2) * 100%=100%. Если смесь состоит из n-компонент, то аналогично определяются С i и Р i при i=1,2,…, n. При этом сохраняются соотношения: Р i= С i * 100%, i =1,2,…, n; С1+ С2 +…+ С n=1; Р1+ Р2 +…+ Р n=100. Отметим полезное свойство концентраций. Если в смеси из n-компонент i-тое вещество составляет концентрацию С i в частях или Р i= С i * 100 в процентах и имеет массу mi единиц, то масса всей смеси равна: М= m i = m i * 100. с i Рi

Аналогично понятию массовой концентрации вводится понятие объёмной концентрации, если массы входящих в смесь в-в заменить на объёмы. Наконец, отметим, что в элементарных математических задачах на смеси предполагается, что смешиваемые в-ва не вступают в химическую реакцию, так что, если m1 и m2 – массы смешиваемых в-в, то масса смеси m= m1 +m2.

Рассмотрим несколько задач: Задача 1 Сколько воды надо добавить в 1 л раствора, содержащего 96% спирта, чтобы получить раствор с содержанием спирта 40 %? Решение: 1 л раствора, в котором содержится 96% спирта содержит этого спирта 1 * 0,96=0,96 л. Это же количество спирта должны содержать и х л раствора с содержанием спирта 40%. Следовательно, 0,96= х * 0,4, х=2,4 л, и надо добавить 2,4 – 1 = 1,4 л. Ответ: 1,4 л.

Задача 2 Процент содержания меди в первом сплаве на 40% меньше, чем во втором сплаве. После того, как эти слитки сплавили вместе, получили новый сплав с содержанием меди 30%.Определить процентное содержание меди в первоначальных сплавах, если в первом сплаве меди было 6 кг, а во втором 12 кг. Решение: Пусть х процентов меди содержалось в первом сплаве, тогда х + 40 процентов её содержалось во втором. В первом сплаве меди было 6 кг, а во втором 12 кг,следовательно,1% первого и второго сплавов имели массы 6 : х и 12 : (х + 40)кг соответственно. Поскольку каждый сплав составляет 100%, то их массы будут М1= 600 :х кг и М2= 1200 :(х+ 40) соответственно.

Новый сплав содержит меди то же количество, которое было до сплавления в двух слитках, т.е. 6+12=18 кг. Это по условию задачи составляет 36% нового сплава, поэтому масса нового сплава есть: 18:36 * 100=50 кг. Масса нового сплава состоит из масс двух старых сплавов, так что: 50=М1+М2=(600 /х) /(х+ 40) 1= (12 /х)+ 24 /(х+ 40). Решая полученное уравнение, находим х 1=20, х 2=-24. Так как х>0,то х=20.Следовательно,в первоначальных сплавах было 20 и 20+40=60 процентов меди. Ответ:20%, 60%

Первый кислотный раствор (кислота, растворённая в воде) содержит 0,8 кг чистой кислоты, а второй раствор содержит 0,6 кг этой же кислоты. После перемешивания растворов получили 10 кг нового раствора кислоты. Определить массу первого и второго растворов для перемешивания, если в первом растворе кислоты содержалось 10% больше, чем во втором. Решение 1:. Обозначим через X кг – массу первого раствора, тогда масса второго будет 10 – X кг. 2. процентное содержание кислоты в первом и втором растворах соответственно равно: По условию имеем:. Отсюда получаем и находим так как x меньше суммарной массы 10 кг, то x = 4. Искомые массы = 4 кг и 10 – 4 = 6 кг. Ответ: 4 кг, 6 кг

вода кислота вода кислота 600 г 15%10%30% Х г 600Х г 0,3Х г 0,1(600Х) г 0,15600 г += 0,3Х+0,1(600Х)=0,15600, Х= г первого раствора, тогда =450(г) второго раствора. Ответ: 150 г, 450 г. Смешали 30 %-ный раствор соляной кислоты с 10 %-ным раствором и получили 600 г 15 %-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

медь олово медь олово 15+Х кг 70%60% 15 кг Х кг 0,615 кг 0,7(15+Х) кг += 0,615+Х=0,7(15+Х), Х=5. 5 кг олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 30% меди. Ответ: 5 кг. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15 кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30 % меди? 40%30%

алюминий магний алюминий магний 22+Х+15=37+Х кг Х+15 кгХ кг 22+Х кг 100(Х+15)/(37+Х) % += 100Х/(22+Х)+33=100(Х+15)/(37+Х), Х=3. Таким образом, сплав первоначально весил 25 кг. Ответ: 25 кг. В сплав магния и алюминия, содержащий 22 кг алюминия, добавили 15 кг магния, после чего содержание магния в сплаве повысилось на 33%. Сколько весил сплав первоначально? 22 кг 15 кг 100Х/(22+Х)% + 33 % 22 кг

медь цинк медь цинк 2Х+40 кг 2Х60 кг 100 кг х 60 кг 0,7(2Х+40) кг + = Х+100=0,7(2Х+40), Х= кг было меди в первоначальном куске, масса которого была 300 кг. Тогда процентное содержание меди можно подсчитать так: (180/300)100=60 % Ответ: 60 %. Латунь сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 60 кг больше, чем у цинка. Этот кусок латуни сплавили со 100 кг меди и получили латунь, в которой 70 % меди. Определите процент содержания меди в первоначальном куске латуни. ?%70% Х кг

Имеется два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом в два с половиной раза больше, чем во втором. Если сплавить оба слитка вместе, то получиться слиток, в котором 40% золота. Определить, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно. Что при сплаве равных по весу частей первого и второго слитков получается слиток, в котором содержится 35% золота. Решение. I. Пусть x % золота содержится во втором слитке, тогда 2,5% золота содержится в первом слитке. 2. Пусть m 1 и m2 – массы первого и второго слитков. Тогда они содержат соответственно m1 и единиц массы золота. 3. Если оба слитка сплавить, то сплав будет иметь массу, в которой золото составляет 40%, следовательно, Разделим обе части этого равенства на и обозначим После преобразования получим: 4. Одна единица массы первого и второго слитков содержит соответственно единиц массы золота, а их сплав состоит из двух единиц массы и содержит 35% золота, следовательно, 5. Поставляя в уравнение (I) и вычисляя, находим Следовательно Ответ: В 2 раза.

Решение задач на сплавы и концентрацию.

Составила учитель математики МБОУ «Ракитовская СОШ» Абрамова С.И.

Сборник задач по математики Задачи на проценты, смеси и сплавы – автор Сканави. Методика и решения автора презентации. 3 задачи были взяты из сайта из раздела математика.