1 Тема 7. Дискретизация сигналов Сигналы и системы дискретного времени. Значения дискретного сигнала определены только при дискретных значениях времени или любой другой независимой переменной. Обычно его представляют в виде последовательности чисел: s(k) s(kit) sk, k = 0, 1, 2, …, K, где значениями чисел отображают значения сигнала в дискретные моменты времени. Система дискретного времени – это алгоритм с входной последовательностью s(k) и выходной последовательностью y(k), которая может быть линейной или нелинейной, инвариантной или изменяющейся во времени. Система дискретного времени линейна и инвариантна во времени (ЛИВ-система), если она подчиняется принципу суперпозиции (отклик на несколько входов равен сумме откликов на каждый вход в отдельности), а задержка (сдвиг) входного сигнала вызывает такую же задержку выходного сигнала. Вход и выход ЛИВ-систем связывает сверточная сумма: y(k) = h(n) x(k-n) где h(n) – дискретная импульсная характеристика (импульсный отклик) системы.

2 Тема 7. Дискретизация сигналов Принципы дискретизации. Сущность дискретизации аналоговых сигналов заключается в том, что непрерывность во времени аналоговой функции s(t) заменяется последовательностью коротких импульсов, амплитудные значения которых cn определяются с помощью весовых функций, либо непосредственно выборками (отсчетами) мгновенных значений сигнала s(t) в моменты времени tn.Представление сигнала s(t) на интервале Т совокупностью дискретных значений cn записывается в виде: (с 1, с 2,..., cN) = А[s(t)], где А - оператор дискретизации. Запись операции восстановления сигнала s(t): s'(t) = В[(с 1, с 2,..., cN)]. Выбор операторов А и В определяется требуемой точностью восстановления сигнала. Наиболее простыми являются линейные операторы. В общем случае: сп = qn(t) s(t) dt, где qn(t) - система весовых функций.

3 Тема 7. Дискретизация сигналов Воспроизведение непрерывного сигнала по выборкам может проводиться как на основе ортогональных, так и неортогональных базисных функций. Воспроизводящая функция s'(t) представляется аппроксимирующим полиномом: s'(t) =cn vn(t), где vn(t) - система базисных функций. Ортогональные базисные функции обеспечивают сходимость ряда к s(t) при n. При неортогональных базисных функциях используются, в основном, степенные алгебраические полиномы вида: s'(t) = cn*tn. Если значения аппроксимирующего полинома совпадают со значениями выборок в моменты их отсчета, то такой полином называют интерполирующим. В качестве интерполирующих полиномов обычно используются многочлены Лагранжа.. В качестве экстраполирующих полиномов используют, как правило, многочлены Тейлора.

4 Тема 7. Дискретизация сигналов Спектр дискретного сигнала. Равномерная дискретизация непрерывного сигнала s(t) с частотой F (шаг Dt = 1/F) с математических позиций означает умножение функции s(t) на гребневую функцию ШDt(t) =d(t-kDt) – непрерывную последовательность импульсов Кронекера: sDt(t) = s(t) ШDt(t) = s(t) d(t-kDt) = s(kDt)d(t-kDt). С учетом известного преобразования Фурье гребневой функции для спектра дискретного сигнала имеем: SF(f) = F S(f) *d(f-nF) = FS(f-nF). Из выражения следует, что спектр дискретного сигнала представляет собой непрерывную периодическую функцию с периодом F, совпадающую (при определенных условиях конечности спектра непрерывного сигнала) с функцией F S(f) непрерывного сигнала s(t) в пределах центрального периода от -fN до fN, где fN = 1/2Dt = F/2.

5 Тема 7. Дискретизация сигналов Примеры спектров сигналов при N=10 и N=50.

6 Тема 7. Дискретизация сигналов Пример дискретизации одного периода синусоиды

7 Тема 7. Дискретизация сигналов Интерполяционный ряд Котельникова-Шеннона. Спектр дискретизированного сигнала представляет собой сумму сдвинутых копий исходного аналогового сигнала с шагом сдвига, равным частоте дискретизации. Очевидно, что если спектры копий не перекрываются, то по центральной копии дискретного спектра можно восстановить исходный аналоговый сигнал с абсолютной точностью. s(t) = s(kit) sinc[πF(t-kit)] = s(kit) sinc[π(t/Δt-k)]. Эта формула носит название интерполяционного ряда Котельникова-Шеннона. Из нее следует, что если наибольшая частота в спектре произвольной непрерывной функции s(t) не превышает частоты ее дискретизации, то она без потери точности может быть представлена в виде числовой последовательности дискретных значений s(kDt), k = 0,1,2,..., и однозначно восстановлена по этой последовательности. В этом и состоит сущность теоремы отсчетов Котельникова. В зарубежной литературе она называется также теоремой Шеннона или теоремой дискретизации.

8 Тема 7. Дискретизация сигналов

9