1 Тема 5 Энергетические спектры сигналов Энергия сигнала равна интегралу от мощности по всему интервалу существования сигнала. Еs = w(t)dt = |s(t)|2dt. По существу, мгновенная мощность является плотностью мощности сигнала: w(t) = (1/Dt) |s(t)|2dt. Сигнал s(t) изучается, как правило, на определенном интервале Т (для периодических сигналов - в пределах одного периода Т), при этом средняя мощность сигнала: WT(t) = (1/T) w(t) dt = (1/T) |s(t)|2 dt. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала производится по формуле: Ws = w(t) dt. Энергия и норма сигналов связаны соотношениями: Es = ||s(t)||2, ……. ||s|| =.

2 Тема 5 Энергетические спектры сигналов Скалярное произведение сигналов. Энергия суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t) определяется выражением E = [u(t)+v(t)]2 dt = Eu + Ev + 2 u(t)v(t) dt Как следует из этого выражения, энергии сигналов, в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию Euv = 2 u(t)v(t)dt Как следует из этого выражения, энергии сигналов, в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию.

3 Тема 5 Энергетические спектры сигналов Скалярное произведение обладает следующими свойствами u, v 0; u, v = v, u ; au, v = a u, v, где а – вещественное число; u+v, a = u, a + v, a. Линейное пространство сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н. Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение также представляет собой вещественное число и вычисляется по формуле Пuv = u(t)v*(t) dt u*(t)v(t) dt.

4 Тема 5 Энергетические спектры сигналов Взаимный энергетический спектр. Из очевидной однозначности энергии взаимодействия сигналов независимо от формы их математического представления (в динамической и частотной модели) следует выражение для скалярного произведения произвольных вещественных сигналов u(t) и v(t) через спектральные плотности сигналов U(w) и V(w) в комплексном гильбертовом пространстве: Пuv = (1/2π) U(ω)V*(ω) d ω (1/2p) U*(ω)V(ω) d ω. Функции Wuv(ω) = U(ω)V*(ω), Wvu(ω) = U*(ω)V(ω), Wuv(ω) = Wvu*(ω) для которых справедливо выражение, называется взаимными энергетическими спектрами вещественных сигналов, и являются функциями распределения плотности энергии взаимодействия сигналов (мощности взаимодействия) по частоте.

5 Тема 5 Энергетические спектры сигналов На рисунке приведена форма двух одинаковых сдвинутых во времени и частично перекрывающихся лапласовских импульсов u(t) и v(t), а также суммарный импульс z(t)=u(t)+v(t). Плотности энергии сигналов W(f) приведены в относительных единицах плотности энергии суммарного сигнала Wz(f) на нулевой частоте Как видно из графиков, плотности энергии сигналов являются вещественными неотрицательными функциями и содержат только реальные части. В отличие от них, плотность взаимной энергии сигналов является комплексной функцией, при этом модуль плотности по своим значениям на шкале частот соизмерим со средними значениями плотности энергии сигналов на этих частотах и не зависит от их взаимного расположения на временной оси.

6 Тема 5 Энергетические спектры сигналов Энергетический спектр сигнала. Если функция s(t) имеет фурье-образ S(w), то плотность мощности сигнала (спектральная плотность энергии сигнала) определяется выражением: w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2 |S(ω)|2 = S(ω)S*(ω) = W(ω) Спектр мощности W(ω) - вещественная неотрицательная четная функция, которую обычно называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектральной плотности сигнала, не содержит фазовой информации о его частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Последнее позволяет получить выражение для энергетического спектра непосредственно из выражений. В пределе, для одинаковых сигналов u(t) и v(t) при сдвиге Dt 0, мнимая часть спектра Wuv(w) стремится к нулевым значениям, а реальная часть – к значениям модуля спектра.

7 Тема 5 Энергетические спектры сигналов Полная энергия сигнала: Еu = u(t)2dt = (1/2π) Wu(t)dt = (1/2π) |U(w)|2 dω т.е. энергия сигнала равна интегралу квадрата модуля его частотного спектра - сумме энергии его частотных составляющих, и всегда является вещественной величиной. Для произвольного сигнала s(t) равенство: |s(t)|2 dt = |S(f)|2 df обычно называют равенством Парсеваля (в математике – теоремой Планшереля, в физике – формулой Релея). Равенство очевидно, так как координатное и частотное представления по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия двух сигналов: u(t) v*(t) dt = U(f) V*(f) df.