1 Тема 2 ПРОСТРАНСТВО и МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ Множества сигналов. Сигналы обычно рассматриваются в составе определенных множеств L, объединенных каким-либо свойством Р, характерным для всех и каждого из сигналов данного множества. Условное отображение множества: L = {s; P} – множество всех s, для которых справедливо свойство Р. Пример 1. Множество гармонических сигналов. L = {s; s(t) = A·cos (wt+j), - < t < }. Множество содержит гармонические сигналы с произвольными значениями амплитуд, частот и фаз. Пример 2. Множество периодических сигналов. L(Т) = {s; s(t) = s(t+kT), - < t <, k I}. Пример 3. Множество сигналов, ограниченных по амплитуде и длительности. L(K,T) = {s; |s(t)| K, s(t)=0 при |t| > T}.

2 Тема 2 ПРОСТРАНСТВО и МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ Пространство сигналов. Для анализа и обработки информации, которая может быть заключена в сигналах, требуется выделять из множества сигналов сигналы с определенными параметрами, сравнивать сигналы друг с другом, оценивать изменение сигналов при их прохождении через системы обработки данных, и т.п. Главным условием превращения множество сигналов L{s1(t), s2(t), …} в функциональное пространство сигналов является выполнение условия однозначной реализации. Если пространство значений независимой переменной t задано выражением R:=(-,+ ), то пространство сигналов LP[R] определяет множество сигналов в этом пространстве, для которых условие однозначной реализации записывается в следующей форме: |s(t)|p dt <. Для анализа сигналов наиболее часто используется гильбертово пространство, сигналы в котором должны удовлетворять условию интегрирования с квадратом: |s(t)|2 dt <. Периодические сигналы обычно рассматриваются в пространстве L2 [0, 2p] одного периода: |s(t)|2 dt <.

3 Тема 2 ПРОСТРАНСТВО и МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ Линейное пространство сигналов. Множество сигналов L образует линейное пространство сигналов, если для него справедливы следующие аксиомы 1. Множество содержит такой нулевой элемент, что для всех сигналов u(t) L выполняется равенство u(t) + = u(t). 2. Для любых сигналов u(t) L и v(t) L существует их сумма s(t) = u(t)+v(t), которая также содержится в L. При этом операция суммирования должна быть: - коммутативна: u(t)+v(t) = v(t)+u(t), - ассоциативна: u(t)+(v(t)+x(t)) = (u(t)+v(t))+x(t), - однородна: u(t) + (-u(t)) =. 3. Существует множество скалярных элементов a, на которые может выполняться умножение любого сигнала s(t) L, при этом результат умножения является новым сигналом y(t) = s(t) в том же пространстве, у(t) L. Операция умножения должна быть: - ассоциативна: a(b·s(t)) = ab·s(t), - дистрибутивна: a(u(t)+s(t)) = au(t)+as(t), (a+b)s(t) = as(t)+bs(t), - пропорциональна: 1·s(t) = s(t), 0·s(t) = 0.

4 Тема 2 ПРОСТРАНСТВО и МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ Норма сигналов в линейном пространстве является аналогом длины векторов, и обозначается индексом ||s(t)|| - норма (norm). В математике существуют различные формы норм. При анализе сигналов обычно используются квадратичные нормы ||s(t)|| =. Соответственно, для дискретных сигналов: ||s(n)|| =. Для комплексных сигналов ||s(t)|| = где s*(t) – величины, комплексно сопряженные с s(t).

5 Тема 2 ПРОСТРАНСТВО и МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ Метрика сигналов. Линейное пространство сигналов L является метрическим, если каждой паре сигналов s(t) L и v(t) L однозначно сопоставляется неотрицательное число (s(t), v(t)) – метрика (metric) или расстояние между векторами Для метрик сигналов в метрическом пространстве любой размерности должны выполняться аксиомы: (s(t),v(t)) = (v(t),s(t)) – рефлексивность метрики. (s(t),s(t)) = 0 для любых s(t) L. (s(t),v(t)) (s(t),a) + (a,v(t)) для любых a L. Метрика определяется нормой разности двух сигналов (s(t),v(t)) = || s(t) – v(t) ||. В свою очередь норму можно отождествлять с расстоянием от выбранного элемента пространства до нулевого ||s(t)|| = (s(t), ).

6 Тема 2 ПРОСТРАНСТВО и МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ Скалярное произведение произвольных сигналов u(t) и v(t) отражает степень их связи (сходства) по форме и положению в пространстве сигналов, и обозначается как u(t), v(t). u(t), v(t) = ||u(t)|| ||v(t)|| cos,

7 Тема 2 ПРОСТРАНСТВО и МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений (отсчетов) во времени, в пространстве или по любым другим аргументам. Для произвольного, в общем случае комплексного, сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) - вещественные функции, мгновенная мощность) сигнала по определению задается выражением: w(t) = s(t) s*(t) = [a(t)+jb(t)] [a(t)-jb(t)] = a2(t)+b2(t) = |s(t)|2, т.е. функция распределения мгновенной мощности по аргументу сигнала равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов - квадрату функции амплитуд. Аналогично для дискретных сигналов: wn = sn s*n = [an+jbn] [an-jbn] = an2 + bn2 = |sn|2,

8 Тема 2 ПРОСТРАНСТВО и МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение u(t), v(t) = u(t)v(t) dt = 0. Соответственно, два таких сигнала в своем функциональном пространстве являются взаимно перпендикулярными (угол между сигналами равен j = 90), полностью независимыми друг от друга (некоррелированными, r = cos j = 0), и имеют нулевую энергию взаимодействия (Euv = 0).

9 Тема 2 ПРОСТРАНСТВО и МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом. Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t: Bs(t) = s(t) s(t+ ) dt.

10 Тема 2 ПРОСТРАНСТВО и МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время t: B12(t) = s 1 (t) s 2 (t+ ) dt