Решение нелинейных уравнений с применением средств программирования. Созданная программа предусматривает 5 методов решения нелинейных уравнений. Ход работы с программой : произвольно задать отрезок значений переменной Х и проверить с помощью программы, содержит ли он корни (уточнение корней); задать точность вычислений корней в виде 0,0…1; выбрать максимальное количество итераций (повтора применения алгоритма вычислений), чтобы избежать зацикливания; определить метод решения; для проверки и наглядности решения построить график заданного уравнения в программе Excel

1).Уравнение свести к однородному: f(x)=0. 2). Построить график функции y = f(x) и с помощью корней изучить свойства на заданном отрезке [a;b]. Так как на [a; b] существует корень уравнения, то график пересекает на данном отрезке ось Ох. 3).Программа подставит а в уравнение вместо х. Получим f(a). 4).Найти с=(a+b)/2. Вычислить f(c). 5).Найти f(a)*f(c). Если f(a)*f(c) < 0, то границу b сдвинуть в с, иначе границу а сдвинуть в с. Если f(c)=0 (c-корень), то х найдено. Если f(c)0, то процесс продолжается, пока значение |a-b| остается большим точности или не достигнуто максимальное количество операций. В итоге х=(a+b)/2. 1. Метод половинного деления (дихотомия)

2. Метод проб Отрезок [a;b] делят на 10 равных частей. Выбирают ту часть, в которой находится корень (где меняется знак значений функции). Её снова делят на 10 частей. Это продолжают, пока |a-b| не станет меньше точности или достигнуто максимальное количество операций. В итоге х = (a+b)/2.

1).Соединить f(a) и f(b). Получим хорду. Она пересекает Ох в в т.С. Если f(x) – возрастает, то сдвинуть b в с, если f(x) – убывает, то сдвинуть a в с. 2).Из т. С опустить перпендикуляр на график. Построить хорду f(с), f(b). 3).Продолжить процесс построения хорд, пока значение |a-b| остается большим точности или не достигнуто максимальное количество итераций. 4).Абсцисса т.С вычисляется по формуле: с = а – ((b-a)/ (f(b) – f(a))) * f(a). В итоге: х = с. 3. Метод хорд

Пусть на [a;b] уравнение f(x) = 0 имеет корень. Провести касательную к графику функции у = f(x) в точке, совпадающей с концом отрезка, в котором знаки 2-ой производной и функции одинаковы. Имеем точку пересечения с Ох – с 1. Для нахождения с 1 используем формулу: с 1 = а - f(a)/ f(a) или b - f(b)/f(b). Продолжать процесс построения касательных, пока значение |a-b| больше точности или не достигнуто максимальное количество итераций. В итоге х = с Метод касательных

5. Метод итераций 1).Дано уравнение f(x) = 0. Заменить его на эквивалентное уравнение х = j(х). Оно определяется на некотором множестве Е. 2).Если значение f(x) принадлежит Е, то построить итерационную последовательность значений функции j(х) с начальным значением х 0 из Е. 3).Если последовательность сходится, то её предел является единственным корнем уравнения х = j(х). Таким образом, исходное уравнение будет решено. Иначе решить уравнение таким методом нельзя. В итоге х = х 0 -- f(x)/М, где М – максимальное значение f(х) на [a;b]. 4).Учитываем, что х 0 = (a+b)/2, и процесс продолжается до тех пор, пока |х 0 –х| остается большим точности или не достигнуто максимальное количество операций.

Диалоговое окно программы

Интегрирование функций Созданная программа позволяет вычислять интегралы тремя способами: способом прямоугольников, способом трапеций, способом Симпсона (парабол), когда формулу Ньютона-Лейбница применить нельзя. Это нужно в случаях: 1. если первообразная функция F(x) не выражается в конечном виде через элементарные функции. 2. если аналитическое выражение первообразной функции F(x) является настолько сложным, что применение формулы (1) становится затруднительным; 3. если аналитическое выражение подынтегральной функции f(x) неизвестно, а ее значения задаются таблицей или графиком.

Метод прямоугольников Геометрический смысл состоит в том, что криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, составленной из «входящих» и «выходящих» прямоугольников. Приближенное значение интеграла равно площади ступенчатой фигуры, составленной из средних прямоугольников. 0x y a=x 0 x n =b y=f(x) A B 0x y a=x 0 x n =b y=f(x) A B

Метод трапеций Геометрический смысл этой формулы состоит в том, что кривая график функции у = f(х) заменяется ломаной, вписанной в кривую АВ. Площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей прямолинейных трапеций. x0xnxn x0x0 y A B y=f(x) x1x1

Метод Симпсона (парабол) Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. Значение интеграла будет численно равно значению площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху дугой параболы. 0 х 0 х 0 х 1 х 1 х 2 х 2 х у y=f(x)

Диалоговое окно программы