1 Моделі парної регресії. 1. Моделі парної регресії та їх дослідження. 2. Метод найменших квадратів Кафера інформатики та компютерних технологій доцент Бесклінська О.П. Тема 2

2 1. Моделі парної регресії та їх дослідження. Рівень доходу Споживання Ціна товару Попит Розмір основних фондів Обсяг виробництва

3 Для моделювання залежності індивідуального споживання С вiд наявного прибутку У Кейнс запропонував лінійне piвняння де с о - величина автономного споживання; b - гранична схильність до споживання (0<b 1).

4 Залежність між рівнем безробіття х i рівнем інфляції у відображається так званою кривою Фiлiпса: де а > 0, b > 0 - параметри моделі, а змінні х i у вимірюються у процентах.

5 При незмінний річний дисконтній (обліковій) ставці r i початковому внеску а через х років у банку наявна сума грошей обчислюватиметься за формулою де а, у - параметри моделі.

6 При маркетингових i ринкових дослідженнях, при дослідженні збуту продукції та в демографії застосовують так звану криву Гомперця: де параметри а та с можуть набувати будь-яких значень, а b перебуває: в таких межах: 0 < b < 1.

7 У загальному випадку nарна лінійна регресія є лінійною функцією мiж залежною змінною У i однiєю пояснюючою змінною Х: Це спiввiдношення називається теоретичною лінійною регресiйною моделлю а 0 i а 1 - теоретичні параметри (теоретичні коефіцієнти) peгpeciї.

8 За вибiркою обмеженого обсягу будують так зване емпіричне рівняння peгpecii, у якому коефіцієнтами є оцінки теоретичних коефiцiєнтiв регресії: де оцінки невідомих параметрів а 1 i а 0.

9 y xx1x1.... u1{u1{ 1 M(Y/X)=a 0 +a 1 X... xixi uiui i

10 Задачі лінійного регресiйного аналізу полягають у тому, щоб за наявними статистичними даними для змінних Х i У: а) отримати найкращі оцінки невідомих параметрів а 1 i а 0 ; б) перевірити статистичні гіпотези про параметри моделі; в) перевірити, чи досить добре модель узгоджується зi статистичними даними (адекватність моделі даним спостережень).

11 Для відображення того факту, що кожне індивідуальне значення y i відхиляється від відповідного умовного математичного сподівання, у модель уводять випадковий доданок u i : Таким чином, регресiйне рівняння набуває вигляду

12 Мiрою якостi знайдених оцiнок можуть бути визначені композиції вiдхилень метод найменших модулів (МНМ). метод найменших квадратів (МНК ).

13 2. Метод найменших квадратів x1x1 x2x2 x3x3...x n-1 xnxn y1y1 y2y2 y3y3...y n-1 ynyn

14 y xx1x1.... u1{u1{... xixi uiui u2{u2{

15 Необхідною умовою існування мінімуму неперервно диференційованої функції двох змінних є рівність нулю її частинних похідних. Так як

16

17 Позначимо:

18 одержимо звідки маємо

19 Неважко помітити, що можна обчислити за формулою: -вибірковий кореляційний момент випадкових величин X і Y;

20 вибіркова дисперсія X стандартне відхилення X. вибірковий коефіцієнт кореляції; стандартне відхилення Y.

21 Коефіцієнт кореляції