x ось абсцисс z ось аппликат Оси координат - Ox, Oy, Oz Начало координат - O точка O Координатные плоскости Oxy, Oyz, Ozx Система координатOxyz y ось ординат О

x z y Отрицательная полуось Положительная полуось О Отрицательная полуось Положительная полуось Отрицательная полуось положительной полуосью Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, отрицательной полуосью а другой луч – отрицательной полуосью

x z координатами точки В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются координатами точки yО M (x; y; z) x = OM 1 абсцисса y = OM 2 ордината z = OM 3 аппликата M1M1M1M1 M3M3M3M3 M2M2M2M2M

y xz O (0; 0; 0) I I I I I I I I I I I I I I I I I IО N (5; 0; 0) I I I I I I I I I I I I I I I I I I I N F D R F (0; -2; 0) D (0; 0; 4) R (0; 0; -0,5) M M (0; 3; 0) S (x; 0; 0) P (0; y; 0) T (0; 0; z) Ox Oy Oz

z N (5; 4; 0) C (2;-1; 0) I I I I I I I I I I I R (-3; -3; 0) F (0; 4; 3) A (0; -3; 4) M (7; 0; 2) S (x; y; 0) P (0; y; z) T (x; 0; z) Oxy Oyz OxzyR N I I I I I I I I I I I I I I I I I IО I I I I I I I I F D x C A D (6; 0;-3) M

В координатной плоскости В координатной плоскости Oxy (x; y; 0) Oyz (0; y; z) Oxz (x; 0; z) Ox (x; 0; 0) Oy (0; y; 0) Oz (0; 0; z) На оси Точка лежит

I I I I I ICz A (4;-2,5; 7) S (5; 4; 8) I I I I I I I I I I I D (5; 4;-3) F (-3; 3;-7) N (0; 0; 4) R (-2;-3; 4) y I I I I I I I I I I I I I I I I I IО I I I I I I I I x M (7; 0;-1) I I I I I I I S F I I I I I I N D I I I I I R M I I I I I I I I I I I I I A C (7; 4;-1)

y xz I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I j k i p{ x; y; z} координаты вектора разложение вектора по координатным векторам, и – координатные векторы, и – координатные векторыijk i=1; j=1; k=1 p F(x; y; z) O Координатные векторы не компланарны. Поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. p = xi + yj + zk F

Вектор, начало которого совпадает с началом координат – радиус-вектор. Координаты радиус-вектора совпадают с координатами конца вектора. y xz I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I j k i p {4; 5; 8} S(4; 5; 8) p =4i +5j +8k p I I I I I I I SO

y xz I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I j k i OT {4; 5; 0} O I I I R F I I I I I I I D E N M T OD {-1; 3; 3} OF {-1; 3;-6} OM {5; 0; 0} OE {6; 0; 3} ON {0; -3; 0} OR {-2; -3; 4}

0 {0;0;0} 0 {0;0;0} O (0; 0; 0) i {1;0;0} i {1;0;0} j {0;1;0} j {0;1;0} e {-1;0;0} e {-1;0;0} r {0;-1;0} r {0;-1;0}y xz I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I j k iO 0 =0i + 0j + 0k k {0;0;1} k {0;0;1} e r f f {0;0;-1} f {0;0;-1} e = – i r = – j f = – k

ABA B AB a A B a Перпендикуляр на прямую Перпендикуляр на плоскость

x z Найти проекции точки М на координатные плоскости. yОM M1M1M1M1 M2 M2 M2 M2 M3M3M3M3 M M 1 (x; y; 0) Oxy M M 2 (0; y; z) Oyz M M 3 (x; 0; z) Oxzx y z Oxy Oyz Oxz M(x; y; z)

x z yОM x z Oxy Oyz Oxz M M 1 (x; 0; 0) Ox Ox M M 2 (0; y; 0) Oy Oy M M 3 (0; 0; z) Oz Oz Найти проекции точки М на оси координат. M2M2M2M2 M1M1M1M1 M3M3M3M3y M(x; y; z)

Координаты равных векторов равны. y xz I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I j k i p {4; 5; 8} p I I I I I I I SO c c = p c {4; 5; 8}

1) Какой из данных векторов равен вектору 3i –2k3i –2k3i –2k3i –2k 2) Напишите разложение ОЕ вектора ОЕ по координатным векторам, иi j 3) Найдите координаты ОR вектора ОR 4) Какой вектор имеет координаты{2;3;0} 5) Отложите от т.О вектор с координатами {-2; 3; 2} {-2;-3; 3} = -2i +3k ОM =ОM =ОM =ОM = ОTОTОTОT ОDОDОDОDy xz I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I j k i I I I R I I D E N M T Ok

x z АСВОА 1 С 1 В 1 О 1 прямоугольный параллелепипед. Найти координаты векторов y A O1O1O1O1 B C1C1C1C1 A1A1A1A1 B1B1B1B1 C OА1OА1OА1OА1 {2; 0; 2} OВ1OВ1OВ1OВ1 {0; 3; 2} OО1OО1OО1OО1 {0; 0; 2} OСOСOСOС {2; 3; 0} OС1OС1OС1OС1 {2; 3; 2} ВС 1 {2; 0; 2} АС 1 {0; 3; 2} О1СО1СО1СО1С {2; 3; -2} О

Координаты вектора Разложение вектора по координатным векторам a {-6; 9; 5} n {-8; 0; 1} m{4; 0; 0} c {0; -7; 0} r {-5;-8; 3} s {-7; 1; 0} e {0;3; 21} q {0; 0; 2} n = – 8i+k c = –7j m =4i s = –7i + j e = 3j +21k q =2k ? ? ? ? ? ? ? ? a = – 6i+9j+5k r = –5i –8j +3k

Координаты вектора Разложение вектора по координатным векторам a {-6; 9; 5} n {-8; 0; 1} m{4; 0; 0} c {0; -7; 0} r {-5;-8; 3} s {-7; 1; 0} e {0;3; 21} q {0; 0; 2} n = – 8i+k c = –7j m =4i s = –7i + j e = 3j +21k q =2k a = – 6i+9j+5k r = –5i –8j +3k

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов a+b = + = a +b {x 1 +x 2 ; y 1 +y 2 ; z 1 +z 2 } Рассмотрим векторы a {x 1 ;y 1 ;z 1 } b {x 2 ;y 2 ;z 2 } = (x 1 + x 2 )i + (y 1 + y 2 ) j + (z 1 + z 2 )k = (x 1 + x 2 )i + (y 1 + y 2 ) j + (z 1 + z 2 )k a = x 1 i +y 1 j +z 1 k b = x 2 i +y 2 j +z 2 k x 1 i +y 1 j +z 1 k x 1 i +y 1 j +z 1 k x 2 i +y 2 j +z 2 k x 2 i +y 2 j +z 2 k

a {3;-5;2} b {0;7;-1} a +b {3;2;1} a {3;-5; 2} c { ;0; 0} 23 c +a { 3 ;-5;2} Даны векторы d {-2,7; 3,1; 0,5} a {3; -5; 2}, b {0; 7;-1}, c { ; 0; 0}, 23 Найдите c +b d +b a +d a +b +c a +b +d {-2,7; 10,1; -0,5} {0,3; -1,9; 2,5} {3 ; 2; 1} 2 3 {0,3; 5,1; 1,5} { ;7;-1} 23

a –b = – = a –b {x 1 –x 2 ; y 1 –y 2 ; z 1 – z 2 } Рассмотрим векторы a {x 1 ;y 1 ;z 1 } b {x 2 ;y 2 ;z 2 } = (x 1 – x 2 )i + (y 1 – y 2 ) j + (z 1 –z 2 )k = (x 1 – x 2 )i + (y 1 – y 2 ) j + (z 1 –z 2 )k a = x 1 i +y 1 j +z 1 k b = x 2 i +y 2 j +z 2 k x 1 i +y 1 j +z 1 k x 1 i +y 1 j +z 1 k x 2 i +y 2 j +z 2 k x 2 i +y 2 j +z 2 k Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов ( ) ( )

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число ka {kx; ky; kz} a {x; y; z} Рассмотрим вектор k 3 3a {-6; 3; 0} a {-2; 1;0} (-2) -2a {4; 0;-6} a {-2; 0; 3} (-1) -a {2; -5; 3} -a {2; -5; 3} a {-2; 5;-3} a = xi +y j +z k ka = kxi +ky j +kz k

b {-8;12;-3} a {-6; 9;1} - a - b {2;-3; 4} + Найдите координаты вектора a - ba - ba - ba - b -b{8;-12;3} (-1) 1 способ a - b {2;-3; 4} 2 способ a {-6; 9;1} b {-8;12;-3}

- + (-1) 1 способ a - b {7;-2; 1} 2 способ a {5;-1; 1} b {-2;1; 0} -b {2;-1; 0} a - b {7;-2; 1} Найдите координаты вектора, если a - ba - ba - ba - b a {5;-1; 1}; b {-2;1; 0} 1) a {5;-1; 1}; b {-2;1; 0}

+ Даны векторы(-2) a {-1; 2; 0} b {0;-5;-2} Найдите координаты вектора c {2; 1;-3} p = 3b – 2a + c 1) 3b {0;-15;-6} 2) -2a {2;-4; 0} 3) 3b – 2a + c p{4;-18;-9} b {0;-5;-2} 3b {0;-15;-6} a {-1; 2; 0} -2a {2;-4; 0} c {2; 1;-3}

+ Даны векторы(-2) a {-1; 2; 0} b {0;-5;-2} Найдите координаты вектора c {2; 1;-3} q = 3c – 2b + a 1) 3c {6; 3;-9} 2) 3) 3c – 2b + a q{5;15;-5} c {2; 1;-3} b {0;-5;-2} 2b {0;10; 4} 3c {6; 3;-9} a {-1; 2; 0}

x z Найдите координаты остальных вершин куба. yО B(3;3;0) C C1C1C1C1 B1B1B1B1 A1A1A1A1 A D D1D1D1D1

x z Найдите координаты остальных вершин куба. y B(4;8;0) C C1C1C1C1 B1B1B1B1 A1A1A1A1 A D D1D1D1D1О

Из АОС, = AО + ОС Найдите координаты векторов y x zk i jА В С OA=4 NAC CB,AB,MN,NP,BM,OM,OP.OB=9 OC=2 M, N P – середины отрезков АС, ОС и ВС = –ОA + ОС = –4 i + 2 k AC, AC {-4; 0 ; 2} М РO