Открытый банк заданий по математике

СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ – функция, представленная как композиция нескольких функций. Сложная функция – функция от функции. Сложная функция представлена в виде цепочки простых функций. – промежуточный аргумент, – независимая переменная. Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Это правило (цепное правило) распространяется на сложные функции с двумя, тремя и т. д. промежуточными аргументами: ( ) vvuvu /// xvxvuxvu /// Здесь у нас две функции – и, причем функция, образно говоря, вложена в функцию. Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.uvvu В этой записи я «сэкономила» независимый аргумент «х». xvu xv x

В композиции может быть и больше двух функций: )( ))))))))(( ))) ((( )))) (((( ))))) (((((/44/343/2432/14321 // x fxffxfffxffffxfffffу Чтобы найти производную сложной функции, нужно 1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную. 2. Определить промежуточный аргумент. В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм: а. Запишите формулу функции. б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.

Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция Функция квадратного корня Показательная функция Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция Логарифмическая функция Функция промежуточного аргумента – тригонометрическая функция sinx Степенная функция Функция промежуточного аргумента – квадратичная функция

Проверим, принадлежит ли х=ln3 промежутку [1; 2] 3 ln Найдите наименьшее значение функции y = e 2x – 6e x + 3 на отрезке [1; 2]1. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Значения функции в концах отрезка. 1) y(1) = e 2 – 6e + 3; y(2) = e 4 – 6e ) y / = [1; 2] Найдем значение функции в критической точке. 2e x (e x – 3) = 0 e x – 3 = 0 x = ln3 ln e = x (e 2x ) / = e 2x (e x ) / = e x (2x) / = e 2x 2 = 2e 2x (kx) / = k 0 ( ) vvuvu /// – 6e x + 0 2e 2x 1) производная для внешней функции: (e x ) / = e x 2) умножим на производную промежуточного аргумента: (kx) / = k = 2e x (e x – 3) (С) / = 0 rb a log = rb a log a a log = 1 1+ – x y\y\ y ln3 min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. >0

Найдите наибольшее значение функции 2. xgxgfxgf /// 5 – 4 х – х 2 0 D(y): x = – 2 D(y) Найдем критические точки, которые принадлежат D(у). Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции. х () х 2 1 / – + x y\y\ y -2-2 max Наибольшее значение функция примет в точке максимума. 3 х 1 0 х В 15 3

При решении некоторых заданий на вычисление наибольшего и наименьшего значений функции можно найти ответ и без вычисления производной. g(x)f Сложная функция представлена в виде цепочки простых функций. Где g(x) – промежуточный аргумент, квадратичная функция g(x) = ax 2 +bx + c Если внешняя функция является монотонно возрастающей на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наибольшее значение. А наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е.квадратичная функция будет иметь наименьшее значение. А наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция будет иметь наименьшее значение. Рассмотрим примеры.

Найдите наибольшее значение функции 2. 5 – 4 х – х 2 0 D(y): 2 способ Решим задание без вычисления производной. Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента.е. квадратичная функция – х 2 – 4 х + 5 будет иметь наибольшее значение. Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция – х 2 – 4 х + 5 будет иметь наибольшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен – 1< 0, значит, ветви параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине. (-1) -4 х 2* 0 = -2 a b х 2 0 Итак, наибольшее значение функция квадратного корня примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наибольшее значение, т.е. в точке х = – 2. Вычислим его: 3 х 1 0 х В 15 3 D(y)

Найдите наименьшее значение функции 3. xgxgfxgf /// х 2 – 6 х D(y): x = 3 D(y) Найдем критические точки, которые принадлежат D(у). Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции. х () х 2 1 / + – x y\y\ y 3 min Наименьшее значение функция примет в точке минимума. 3 х 1 0 х В 15 2

Найдите наименьшее значение функции 3. х 2 – 6 х D(y): 2 способ Решим задание без вычисления производной. Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента.е. квадратичная функция х 2 – 6 х + 13 будет иметь наименьшее значение. Функция квадратного корня монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция х 2 – 6 х + 13 будет иметь наименьшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1> 0, значит, ветви параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине х 2* 0 a b х 2 0 Итак, наименьшее значение функция квадратного корня примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наименьшее значение, т.е. в точке х = 3. Вычислим его: D(y) 3 х 1 0 х В 15 2 = 3

Найдите наименьшее значение функции 4. xgxgfxgf /// x = - 1 D(y) Найдем критические точки, которые принадлежат D(у). Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции. + – x y\y\ y min Наименьшее значение функция примет в точке минимума. 3 х 1 0 х В D(y): Rx aaa х ln / >0>0

Найдите наименьшее значение функции 4. D(y): Rx Решим задание без вычисления производной. Показательная функция с основанием 2>1 монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента.е. квадратичная функция х х + 5 будет иметь наименьшее значение. Показательная функция с основанием 2>1 монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция х х + 5 будет иметь наименьшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1> 0, значит, ветви параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине. 1 2 х 2* 0 a b х 2 0 Итак, наименьшее значение показательная функция примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наименьшее значение, т.е. в точке х = – 1. Вычислим его: D(y) = – 1 3 х 1 0 х В способ

Найдите наибольшее значение функции 5. xgxgfxgf /// x = - 3 D(y) Найдем критические точки, которые принадлежат D(у). Вычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции. – + x y\y\ y -3 max Наибольшее значение функция примет в точке максимума. 3 х 1 0 х В 15 9 aaa х ln / D(y): Rx >0>0

Найдите наибольшее значение функции 5. D(y): Rx 2 способ Решим задание без вычисления производной. Показательная функция с основанием 3>1 монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента.е. квадратичная функция – х 2 – 6 х – 7 будет иметь наибольшее значение. Показательная функция с основанием 3>1 монотонно возрастает на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция – х 2 – 6 х – 7 будет иметь наибольшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен – 1< 0, значит, ветви параболы направлены вниз. И набольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине. (-1) (-1) - 6 х 2* 0 a b х 2 0 Итак, наибольшее значение показательная функция примет, когда промежуточная квадратичная функция примет наибольшее значение, т.е. в точке х = – 3. Вычислим его: D(y) = – 3 3 х 1 0 х В 15 9

Найдите наибольшее значение функции 6. 4 – 2 х – х 2 0 D(y): Решим задание без вычисления производной. Логарифмическая функция с основанием 5 является монотонно возрастающей на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента.е. квадратичная функция 4 – 2 х – х 2 будет иметь наибольшее значение. Логарифмическая функция с основанием 5 является монотонно возрастающей на всей области определения. Значит, наибольшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция 4 – 2 х – х 2 будет иметь наибольшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен –1<0, значит, ветви параболы направлены вниз. И наибольшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине. (-1) -2 х 2 0 = х 1 0 х В 15 4 a b х 2 0

Найдите наименьшее значение функции 7. х 2 – 6 х D(y): Решим задание без вычисления производной. Логарифмическая функция с основанием 3 является монотонно возрастающей на всей области определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента.е. квадратичная функция х 2 – 6 х + 10 будет иметь наименьшее значение. Логарифмическая функция с основанием 3 является монотонно возрастающей на всей области определения. Значит, наименьшее значение она будет иметь, когда функция промежуточного аргумента, т.е. квадратичная функция х 2 – 6 х + 10 будет иметь наименьшее значение. Старший коэффициент квадратного трехчлена равен +1>0, значит, ветви параболы направлены вверх. И наименьшее значение квадратичная функция будет иметь в вершине. *1 -6 х 2 0 = х 1 0 х В 15 2 a b х 2 0