Моделирование зависимостей между величинами

Математические модели Математическая модель –это совокупность количественных характеристик некоторого объекта и связей между ними, представленных на языке математики t=2h/g P=P 0 (1+t/273)

Табличные и графические модели Н, м T, c 61,1 91,4 121,6 151,7 181,9 212,1 242,2 272,3 302,5

Моделирование зависимостей между величинами Величина- качественная характеристика исследуемого объекта Характеристики величины Имя: Отражает смысл величины Тип: Определяет возможные значения величины Значение константа переменная Виды зависимостей: Функциональные Иные Способы отображения зависимостей Математическая модель Табличная модель Графическая модель

Модели статистического прогнозирования

Статистика: наука о сборе,измерении и анализе массовых количественных данных Статистические данные Приближенный характер Требуют многократных измерений Регрессионная модель Описывает зависимость между количественными характеристиками сложных систем Вид регрессионной функции определяется подбором по экспериментальным данным Может использоваться для прогнозирования Метод наименьших квадратов Используется для вычисления параметров регрессионной модели Вид регрессионной модели задает пользователь Содержится в математическом арсенале электронных таблиц

Табличное и графическое представление числовых данных C мг/м 3 Р, Боль./тыс ,520 2,932 3,234 3,651 3,955 4,290 4,

Варианты построения графической зависимости по экспериментальным данным (регрессионная модель)

Метод наименьших квадратов Этапы получения регрессионной модели : 1. подбор вида функции 2. вычисление параметров функции Выбор производится среди следующих функций: Y=ax+b -линейная функция Y=ax 2 +bx+c -квадратичная функция Y=a ln(x)+b -логарифмическая функция Y=ae bx -экспоненциальная функция Y=ax b - степенная функция

Тренды, построенные по методу МНК

Прогнозирование по регрессионной модели

Регрессионная модель может использоваться для прогнозирования в точках, не являющихся экспериментальными

Способы прогнозирования по регрессионной модели Восстановление значения Экстраполяция

Восстановление значения -это метод прогнозирования, когда прогноз производится в пределах экспериментальных значений независимой переменной. Восстановление значения

Экстраполяция -это метод прогнозирования за пределами экспериментальных данных. При экстраполяции нельзя далеко уходить за пределы экспериментальной области, т.к. за ее пределами характер зависимости может сильно измениться. Экстраполяция

Корреляционные зависимости

Сложная система Фактор В Фактор С Фактор А-важная характеристика системы Фактор D

Фактор В - расходы на хозяйственные нужды Фактор С- наличие оборудования и технических средств обучения Фактор А- успеваемость учащихся школа Фактор D- квалификация учителей Фактор E- контингент учащихся

школы Затраты (руб/чел)Успеваемость( средний балл)

Корреляционные зависимости Это зависимости между величинами,каждая из которых подвергается неконтролируемому разбросу Корреляционный анализ дает возможность: Определить, оказывает ли один фактор существенное влияние на другой фактор Выбрать из нескольких факторов наиболее существенный Коэффициент корреляции р: количественная мера корреляции Р- по модулю близко к единице- сильная корреляция Р- близко к нулю -слабая корреляция Расчет р возможен в MS Exсel с помощью программы КОРРЕЛ

Постановка задачи планирования Имеются плановые показатели: Х, У и другие; Имеются некоторые ресурсы:R1,R2 и другие, за счет которых эти плановые показатели могут быть достигнуты.Эти ресурсы всегда ограничены; Имеется определенная стратегическая цель, зависящая от значений Х и У и других плановых показателей, на которые нужно ориентировать планирование

Цель оптимального планирования Определить значения плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения поставленной стратегической цели

Плановые показатели Количество детей Количество воспитателей Ресурсы Финансирование Площадь помещения Стратегическая цель Укрепление здоровья детей (минимизация количества заболеваний) Объект планирования:

Стратегическая цель Максимальный уровень жизни населения Плановые показатели Объем производства продукции Подготовка специалистов Количество производимой электроэнергии Размер зарплаты в бюджетной сфере Ресурсы Кол-во работоспособного населения Бюджет государства Природные ресурсы Энергетика Возможности транспортных систем время Объект планирования:

Объект планирования: Плановые показатели Х- дневной план выпуска пирожков У- дневной план выпуска пирожных Ресурсы Длительность рабочего дня(8 часов) Вместимость складского помещения (700 мест) Стратегическая цель Максимальная выручка

Математическая модель задачи Пусть t минут- время изготовления одного пирожка, Тогда 4t минут- время изготовления одного пирожного Общее время для изготовления х пирожков и у пирожных равно tx+4ty=(x+4y)t Это время не может превышать длительность рабочего дня, значит (x+4y)t<480

t – время изготовления 1 пирожка за рабочий день может быть изготовлено 1000 пирожков на 1 пирожок тратится 480/1000=0,48 минут подставляя это значение в неравенство, получим (x+4y)*0,48<480 x+4y<1000 ограничение на общее число изделий: x+y<700

К двум полученным неравенствам добавим условие x>0 и y>0 (так как не может быть отрицательного количества пирожков и пирожных) получим систему неравенств: x+4y<1000 x+y<700 x>0 y>0

Стратегическая цель – максимальная выручка Выручка=стоимость всей проданной продукции Цена одного пирожка=r рублей Цена одного пирожного=2r рублей Стоимость произведённой за день продукции: rx+2ry=r(rx+2y) Будем рассматривать записанное выражение как функцию от x,y F(x,y)=r(x+2y) Целевая функция

Так как r – константа, то максимальное значение F(x,y) будет достигнуто при максимальном значении выражения (x+2y) поэтому, в качестве целевой функции можно принять F(x,y)=x+2y

Получение оптимального плана свелось к следующей математической задаче: Требуется найти значение плановых показателей x и y, удовлетворяющих данной системе неравенств и передающих максимальное значение целевой функции.

Область поиска оптимального плана

Модели оптимального планирования Оптимальное планирование-определение значений плановых показателей с учетом ограниченности ресурсов при условии достижения заданной цели Ограниченность ресурсов описывается: Системой неравенств Системой равенств Смешанной системой Цель описывается функцией, для которой требуется Найти минимум Найти максимум Microsoft Exсel имеет специальное средство Поиск решения для решения задач оптимального планирования