Сфера и шар Выполнила Иванова Наталия 11 Б класс

R O d r Сфера – это геометрическое тело, поверхность которого состоит из множества точек, равноудалённых от одной точки – центра окружности. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой точкой её поверхности, называется – радиусом (R, r ). Отрезок, соединяющий две любые точки поверхности сферы и проходящие через её центр, называется – диаметром (d). Диаметр равен двум радиусам d = 2r.

А В С Сфера получена вращением полуокружности АВС вокруг диаметра АВ Сфера – это тело вращение, образованное вращением полуокружности вокруг диаметра. Шар – это геометрическое тело, ограниченное сферой. Шар – это тело вращения, образованное обращением полукруга вокруг диаметра. Центр, радиус и диаметр сферы совпадают с центром, радиусом и диаметром шара.

Сечением сферы плоскостью ( ) является окружность (О;R). β R O Сечением шара плоскостью является круг. d O R Сечения, проходящие через диаметр, называются большими кругами шара и большими окружностями сферы. β

Уравнение окружности (Х –Х 0 ) 2 + (У – У 0 ) 2 = R 2 Уравнение сферы (Х –Х 0 ) 2 + (У – У 0 ) 2 + (Z – Z 0 ) 2 = R 2, где Х 0, У 0, Z 0 - координаты центра; R – радиус сферы или окружности; Х, У, Z – координаты точки, лежащей на поверхности сферы или окружности. Уравнение сферы с центром в начале координат Х 2 + У 2 + Z 2 = R 2.

R O R O R O d r 2 = R 2 – d 2 Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью - окружность. d < R r β β β М Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку (М). d = R d d Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек. d > R

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной. β О А Теорема Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. Обратная теорема Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей, описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. S = 4 П R 2 R