Екимова Оксана 11 б Санкт-Петербург 2007 г

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки. Данная точка (О) называется центром сферы, а данное расстояние радиусом сферы. (Радиус сферы часто обозначается латинской буквой R.) Можно определить сферу и как тело, образованное при вращении окружности вокруг своего диаметра Тело, ограниченное сферой, называют шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара.

В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C (x o ; y o ; z o ) имеет вид (x- x o ) 2 +(y- y o ) 2 +(z- z o ) 2 =R 2

1) при d>R плоскость не пересекает шара; 1)2) 3) 2) при d = R плоскость касается шара в одной точке, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к плоскости; 3) при d<R плоскость пересекает шар по окружности, цент­ ром которой служит основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость, а радиус равен.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. I. Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. II. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер каждой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы много­ гранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вычисления площади сферы радиуса R: S=4ПR 2

Кратчайшим путем на сфере, соединяющим две ее точки A и B, является меньшая из двух дуг AB большой окружности, проходящей через A и B. Теорема о кратчайшем пути на сфере: Проведем плоскость через точки A, B и центр сферы, в сечении получим окружность. Рассмотрим меньшую из дуг AB этой окружности и выберем на ней произвольную точку M. Обозначим центр сферы O и проведем через точку M две плоскости, перпендикулярные радиусам OA и OB. Эти плоскости пересекут сферу по двум окружностям w и u, которые имеют единственную общую точку – точку M. Рассмотрим произвольный путь из A в B, не проходящий через M. Обозначим точку пересечения рассматриваемого пути с окружностью w через K, а с окружностью u – через P. Очевидно, что существует путь, соединяющий точки A и M, такой же длины, что путь, соединяющий A и K. В этом легко убедиться, повернув окружность w вокруг OA так, чтобы точка K перешла в точку M. Аналогично, существует путь, между B и M такой же длины, что и путь между B и P. Отсюда следует, что кратчайший путь между A и B должен проходить через M. А поскольку M – произвольная точка меньшей дуги AB. Теорема доказана.