Объем и его свойства Выполнила ученица 11 «Б» класса Качук Мария

Объем геометрического тела – та часть пространства, которую занимает данное тело Объем геометрического тела – та часть пространства, которую занимает данное тело За единицу измерения объемов принимают куб, ребро которого равно единице измерения отрезков За единицу измерения объемов принимают куб, ребро которого равно единице измерения отрезков

Свойства объемов Неотрицательность – объем геометрического тела есть число положительное Неотрицательность – объем геометрического тела есть число положительное

Аддитивность если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих если геометрическое тело составлено из геометрических тел, не имеющих общих внутренних точек, то объем данного тела равен сумме объемов тел его составляющих

Нормированность объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице

Инвариантность Равные геометрические тела имеют равные объемы Равные геометрические тела имеют равные объемы

Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла

Если функция f(x) непрерывна на промежутке I числовой оси, содержащей точки х=а и х=b, то разность значений F(b)-F(a) (где F(x) - первообразная f(x) на I) называется определенным интегралом от функции f(x) от a до b. Если функция f(x) непрерывна на промежутке I числовой оси, содержащей точки х=а и х=b, то разность значений F(b)-F(a) (где F(x) - первообразная f(x) на I) называется определенным интегралом от функции f(x) от a до b. формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление объёмов тел. 1. Заключаем тело Т между двумя параллельными плоскостями. 2. Вводим систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна плоскостям. 3. Проводим плоскость Ф(х) параллельно плоскостям через точку с абсциссой х. 4. Определяем вид сечения и выражаем площадь через функцию S(х). 5. Проверяем, является ли функция S(х) непрерывной на [a;b].

6. Разбиваем [a;b] на n - равных отрезков точками а = х 0, х 1, х 2, …х n =b и проводим через х i плоскости перпендикулярно ОХ. 7. Плоскости разбивают тело Т на n- тел Т 1, Т 2, Т 3,... Т n с основаниями Ф(х i ) и высотой x i = (b - a)/n 8. V V n = (S(x 1 ) + S(x 2 ) +…+ S(x n ) ) x i = =(S(x 1 ) + S(x 2 ) +…+ S(x n ))(b - a)/n. При n, V n V, поэтому но 9.

Задача 1. Найти объём наклонной треугольной призмы с основанием S и высотой h. 1. Введём ось ОХ перпендикулярно основаниям призмы. 2. (АВС) OX=a, a=0, (A 1 B 1 C 1 ) OX=b, b=h 3. Проведём плоскость перпендикулярно ОХ через точку с абсциссой х. А 2 В 2 С 2 -треугольник, равный основаниям. Площадь А 2 В 2 С 2 равна S. Ответ: V=Sh 4. S(x) непрерывна на [0;h] 5. С АВ А1А1 В1В1 С1С1 Х h 0 * * *x C2C2 A2A2 B2B2

В своей практической деятельности человек часто встречается с необходимостью вычисления объемов, например, при изготовлении каких-либо деталей или при строительстве различных сооружений. Многие строительные объекты и детали конструкций имеют форму геометрических тел: параллелепипедов, призм, пирамид, шаров и т. д. В своей практической деятельности человек часто встречается с необходимостью вычисления объемов, например, при изготовлении каких-либо деталей или при строительстве различных сооружений. Многие строительные объекты и детали конструкций имеют форму геометрических тел: параллелепипедов, призм, пирамид, шаров и т. д.