Движение Отображение плоскости на себя Движение Осевая симметрия Центральная симметрия Поворотная симметрия Параллельный перенос Гомотетия

Отображение плоскости на себя Если каждой точке плоскости по определенному закону ставится в соответствие единственная точка этой же плоскости, то говорят, что плоскость отображается на себя. Понятие отображения плоскости аналогично понятию функции. А – прообраз, А1 – образ, f – закон отображения f А А1 АА1

Отображение плоскости на себя Являются ли отображением плоскости на себя Две одинаковые фотографии одного масштаба, лежащие на столе Две одинаковые фотографии различного масштаба, лежащие на столе Две одинаковые фотографии одного масштаба, одна из которых лежит на столе, а другая висит на стене Две фотографии, изображающие одна –мужчину, а другая – женщину? Может ли отрезок отобразиться В отрезок равной длины В отрезок большей длины В отрезок меньшей длины В точку Прямую Отрезок Луч?

Движение Движение – отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояние. Являются ли движением Две одинаковые фотографии одного масштаба, лежащие на столе Две одинаковые фотографии различного масштаба, лежащие на столе Две одинаковые фотографии одного масштаба, одна из которых лежит на столе, а другая висит на стене Фотография и ее отражение в зеркале?

Движение Являются ли движением следующие преобразования графиков? преобразования графиков Y(x+a) Y(x) +a -Y(x) Y(-x) -Y(-x) Y(kx) kY(x) |Y(x)| Y(|x|)

Преобразование графиков У(х) кУ(Х) Х У

Преобразование графиков У Х У(кх)У(х)

Преобразование графиков Х У У(х) /У(х)/

Преобразование графиков Х У У(/х/) У(х)

Осевая симметрия Осевая симметрия Построение точки, симметричной данной Определение Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему Задание Постройте точку C 1, симметричную точке C относительно прямой а A1A1 A a O B A A1A A1 a Т AO = OA 1 C1C1 a C S (A)=A1 a S (C)=C1 a

Осевая симметрия Точка А симметрична точке А1 относительно прямой L, если расположена на перпендикуляре к прямой L на одинаковом расстоянии от нее, но по другую сторону от этой прямой Точка, лежащая на оси симметрии, симметрична самой себе. L А А1 S (A)=A1 B S (B)=B L L

Осевая симметрия Осевая симметрия Построение отрезка, симметричного данному А с А В В O O' 1.ААс, АО=ОА. 2.ВВс, ВО=ОВ 3. S (AB)=АВ c

Осевая симметрия Осевая симметрия Построение треугольника, симметричного данному А с А В В D D 1. AAc AO=OA 2. BBc BO=OB 3. DDc DO=OD 4. S ( ABC)=ABD c O O O

Осевая симметрия Фигура Ф симметрична фигуре Ф1 относительно оси симметрии L, если каждая ее точка симметрична соответственной точке фигуры Ф1 относительно оси L. S ( ABC)= A1B1C1 A B C A1 B1 C1 L L

Осевая симметрия Постройте треугольник, симметричный данному относительно заданной оси симметрии L m n A B C

Определите количество осей симметрии Прямая: бесконечное Отрезок: две Луч: одна а А В n

Задачи 1. Отрезок АВ, перпендикулярный прямой с, пересекает ее в точке О так, что АООВ. Симметричны ли точки А и В относительно прямой с? Ответ: нет 2. Прямая а пересекает отрезок МК в его середине под углом, отличным от прямого. Симметричны ли точки М и К относительно прямой а? Ответ: нет 3. Точки А и В расположены в различных полуплоскостях с границей р так, что отрезок АВ перпендикулярен прямой р и делится ею пополам. Симметричны ли точки А и В относительно прямой р? Ответ: да

4. Изобразите точку А, лежащую в I четверти координатной плоскости. Точка В симметрична точке А относительно оси y. Точка С симметрична точке В относительно оси х. Точка D симметрична точке С относительно оси у. Что вы можете сказать: a.о точках A и D b.о фигуре ABCD c.при каком условии ABCD будет квадратом

Ответ: a.Точки A и D симметричны относительно оси х. b.ABCD – прямоугольник c.Если расстояния от точки А до оси х и у будут равными

5. Относительно какой из координатных осей симметричны точки М(7;2) и К(- 7;2)? 6. Точки А(5;…) и В(…;2) симметричны относительно оси Ох. Запишите их пропущенные координаты. 7. Точка А(-2;3), В - симметричная ей точка относительно оси Ох, точка С – симметричная точке В относительно оси ОУ. Найдите координаты точки С. 8. Точка А(3;1), В – симметричная ей точка относительно прямой у = х. Найдите координаты точки В. Проверь себя

5. Ответ: ОУ. 6. Ответ: А(5;-2) и В(5;2). 7. Ответ: С(2;-3). 8. Ответ: В(1;3)

Центральная симметрия Определение Точки A и A 1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка AA 1 Точки A и A 1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка AA 1 А А1 О Z (A)=A1 O

Центральная симметрия Фигура называется симметричной относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре. Z (F)=(F1) o

Какие из данных фигур имеют центр симметрии? Центральная симметрия Какие из данных фигур имеют центр симметрии? Центральная симметрия A B C D O

А В А1 В1 О 1.АО=ОА1 2. ВО=ОВ1 3. Z (AB)=A1B1 o Построение симметричного отрезка

Центральная симметрия Центральная симметрия является частным случаем поворота на 180 градусов А В С С1 А1 В1

Какие из данных букв имеют ось симметрии? Какие из данных букв имеют центр симметрии? Упражнения

O Поворотом плоскости Поворотом плоскости вокруг точки О на угол называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1, что ОМ = ОМ 1 и угол МОМ 1 равен М М1М1М1М1 Поворотная симметрия

Угол поворота 60 0 МО М1М1М1М1

Поворотная симметрия Построение точки поворотом на 135 и -135 градусов о о О А А1 А2 R (A)=A1 o 135 o R (A)=A2 o -135 o

Поворотная симметрия Поворот отрезка O А В А1 В1

О В А В1В1 А1А1 Угол поворота 120 0

Поворотная симметрия O O Поворот отрезка. Центр поворота может совпадать с концом отрезка, содержаться в отрезке, не принадлежать отрезку.

Поворотная симметрия Построение отрезка поворотом на 135 и -135 градусов о о О А А1 А2 R (AВ)=A1В1 o 135 o R (AВ)=A2В2 o -135 o B1 B2 B

O Центр поворота фигуры может быть во внутренней области фигуры и во внешней… O

O При повороте многоугольника надо повернуть каждую вершину.

Мa М1М1 Параллельный перенос Параллельным переносом на вектор a называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в точку М1 так, что вектор ММ1 равен вектору a. Т (М)=М1 a

a В А С B1B1 C1C1 A1A1 Параллельный перенос треугольника Т ( АВС)= А1В1С1 a

a Параллельный перенос

Использованы иллюстрации с сайтов

Гомотетия

Определение. Гомотетией с центром O и коэффициентом k = 0 плоскости называется преобразование плоскости, которое каждую точку X отображает на такую точку X, что ОX=kOX Обозначение: -гомотетия с центром в O и коэффициентом k К Н о

Гомотетия Две фигуры назовем гомотетичными, если одна может быть получена из другой с помощью некоторой гомотетии. Рассмотрим примеры гомотетии с различными коэффициентами. к=2 к=-2

Гомотетия Свойство 1. При гомотетии точка отображается в точку, отрезок в отрезок, а прямая в прямую. Свойство 2. Гомотетия сохраняет принадлежность объектов (инцидентность). Другими словами, если точка принадлежит некоторой фигуре, то ее образ будет принадлежать образу этой фигуры, и наоборот. Свойство 3. Гомотетия сохраняет параллельность. То есть, две параллельные прямые отображаются в две параллельные прямые. Свойство 4. Гомотетия прямую отображает в параллельную ей прямую. Свойство 5. Гомотетия переводит плоский угол в равный ему угол Следствие. Гомотетичные фигуры – подобны Замечание 1. При к=1 и к=-1 гомотетия является движением Замечание 2. При к=-1 гомотетия является центральной симметрией

Пример 1. При гомотетии с коэффициентом и центром в точке пересечения медиан треугольника вершины этого треугольника переходят в середины противоположных сторон. Доказательство. Рассмотрим чертеж на рисунке 4. По известному свойству медиан, точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1 считая от вершины. Таким образом, при гомотетии с центром в точке М и коэффициентом, вершина А перейдет в вершину А1, В в В1, а С в С1. Что и требовалось доказать. Замечание. Треугольники АВС и А1В1С1 гомотетичны

Тесты Осевая симметрия Центральная симметрия Поворотная симметрия

Тест Заполните таблицу, определив количество осей симметрии для каждой из следующих фигур Номер фигуры Количе ство осей симметрии Номер фигуры Количе ство осей симметрии Номер фигуры Количе ство осей симметрии Номер фигуры Количе ство осей симметрии

Тест Заполните таблицу, определив, обладают ли следующие фигуры свойством центральной симметрии? Номер фигуры Наличие центра симметрии Номер фигуры Наличи е центра симметрии Номер фигуры Наличие центра симметрии Номер фигуры Наличие центра симметрии

Тест Заполните таблицу, определив наличие поворотной симметрии. Номер фигуры Угол поворота Номер фигуры Угол поворота Номер фигуры Угол поворота Номер фигуры Угол поворота

Тест Заполните таблицу, определив количество осей симметрии для каждой из следующих фигур Номер фигуры Количе ство осей симметрии Номер фигуры Количе ство осей симметрии Номер фигуры Количе ство осей симметрии Номер фигуры Количе ство осей симметрии

Тест Заполните таблицу, определив, обладают ли следующие фигуры свойством центральной симметрии? Номер фигуры Наличие центра симметрии Номер фигуры Наличи е центра симметрии Номер фигуры Наличие центра симметрии Номер фигуры Наличие центра симметрии 1Нет 5Да 9 13Да 2Нет 6Да 10Да 14Да 3Нет 7 11Да 15Нет 4 8Да 12Нет 16Нет

Тест Заполните таблицу, определив наличие поворотной симметрии. Номер фигуры Угол поворота Номер фигуры Угол поворота Номер фигуры Угол поворота Номер фигуры Угол поворота нет нет нет 16 нет

Определение Симметрия (от греч. Symmetria – соразмерность), в широком смысле – неизменность структуры материального объекта относительно его преобразований. Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии. Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных. Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например при построении графиков функций.

Пушкин А.С. «Медный всадник» …В гранит оделася Нева; Мосты повисли над водами; Темнозелеными садами Ее покрылись острова…

Заключение Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Математики о симметрии Математик любит прежде всего симметрию Математик любит прежде всего симметрию Максвелл Д. Максвелл Д. Красота тесно связана с симметрией Вейль Г. Вейль Г. Симметрия … является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство Вейль Г. Вейль Г. Для человеческого разума симметрия обладает, по - видимому, совершенно особой притягательной силой Фейнман Р. Фейнман Р.