Термин «вектор» (от лат. vector – «несущий») впервые появился в 1845 г. у ирландского математика и астронома Уильяма Гамильтона ( ) в работах по построению числовых систем, обобщающих комплексные числа.

Что такое вектор? Вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис.1).

Весьма часто понятию вектора дается другое определение: вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис.3), уславливаются считать равными.

Коллинеарные и компланарные векторы Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. Другими словами, векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Сложение и вычитание векторов Свойства векторов: 1. a+b =b+a 2. a+(b+c)=(a+b)+c 3. a+0=a 4. a+(-a)=0

Правило треугольника

Правило параллелограмма

Умножение вектора на скалярную величину

Равенство векторов

Скалярное произведение двух векторов и его свойства 1. a*b=b*a 2. Λ*(a*b)=(λ*a)*b=a*(λ*b) 3. a*(b+c)=a*b+a*c 4. aba*b=0 5. (a)²=|a|²

Практическое применение. Законы Кеплера Радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает равные площади

Решение задач с помощью векторов 1. Даны два вектора AB и CD, причём A(-1;2;4), B(- 4;5;4), C(2;1;5). Определить, перпендикулярны они друг другу или нет. Решение: Найдём сначала координаты векторов.AB=(- 3;3;0) и CD=(3;3;3). Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов: AB*CD=(-3)*3+3*3+0*3=0. Последнее и означает, что ABCD.

2. Доказать: диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Доказательство: Пусть ABCD-данный ромб. Введём обозначения: AB=a, BC=b. Из определения ромба: AB=DC=a, AD=BC=b. Рассмотрим AC*DB=(a+b)*(a-b)=a²-b². Так как стороны ромба равны, то a=b.Следовательно, из последнего получаем ACDB.

Известные математики Уильям Гамильтон

Гиббс Джозайя Уиллард