Простая поверхность Простая поверхность Никольская Анна ГОУ школа 548 с углубленным изучением английского языка. Проект представляет: Руководитель проекта: Попович Виктория Вадимовна ученица 9Б класса Санкт – Петербург 2010 г

Поверхность традиционное название для двумерного многообразия в пространстве Основным является понятие простой поверхности, которую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям).. Понятие о простой поверхности

Пусть на плоскости с прямоугольной системой координат u и v задан квадрат, координаты внутренних точек которого удовлетворяют неравенствам 0 < u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v) у = y(u, v) z = z(u, v) Примером простой поверхности является полусфера u u v

Если функция непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью. Также существует параметрический способ задания. В этом случае поверхность определяется системой уравнений Способы задания

При этом, форма поверхности однозначно не определенна.Например, между областями геликоида и катеноида существует соответствие, сохраняющее все длины (изометрия). Свойства, сохраняющиеся при изометрических преобразованиях, называются внутренней геометрией поверхности. Внутренняя геометрия не зависит от положения поверхности в пространстве и не меняется при её изгибании без растяжения и сжатия (например, при изгибании цилиндра в конус).

Это винтовая поверхность, описываемая параметрическими соотношениями и образованная движением прямой, вращающейся вокруг перпендикулярной к ней оси и одновременно поступательно движущейся в направлении этой оси, причем скорости этих движений пропорциональны. Геликоид

Катеноид поверхность, образуемая вращением цепной линии вокруг оси OX. Открыл катеноид Леонард Эйлер Леонард Эйлер в 1744 году. Само слово катеноид образовано от латинского catena цепь и греческого éidos вид Катеноид

Свойства: Является минимальной поверхностью Интересные факты: Форму катеноида может принимать мыльная плёнка, натянутая на две проволочных окружности, плоскости которых перпендикулярны линии, соединяющей их центры. Катеноид

Поверхность - совокупность последовательных положений l1,l2… линии l перемещающейся в пространстве по определенному закону. В процессе образования поверхности линия l может оставаться неизменной или менять свою форму - изгибаться или деформироваться. Подвижную линию принято называть образующей, неподвижные - направляющими. По виду образующей линии различают поверхности: 1. линейчатые (линия – прямая) 2. развертывающие, которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость; 3.неразвертывающиеся. 4. нелинейчатые (линия – кривая).

циклические поверхности поверхности вращения поверхности с плоскостью параллелизма поверхности параллельного переноса Циклические поверхности

Для графического изображения поверхности на чертеже используется её каркас поверхности Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже. Две части определителя Две части определителя: 1. геометрическая (набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не входить в состав поверхности). 2. алгоритмическая (перечень операций, позволяющий реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу).

Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m вокруг оси i Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и оси i Алгоритмическая часть включает две операции: 1. на образующей m выделяют ряд точек A, B, C, …F, 2. каждую точку вращают вокруг оси i. ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Плоскости окружностей расположены перпендикулярно оси i. Эти окружности называются параллелями; наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором. 1. Плоскость перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по окружности – параллели. 2. Плоскость, проходящая через ось вращения, пересекает поверхность по двум симметричным относительно оси линиям – меридианам.

Сфера – образуется вращением окружности вокруг её диаметра При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды, которые могут быть получены вращением эллипса вокруг одной из осей: если вращение вокруг малой оси, то эллипсоид называется сжатым или сфероидом,если вокруг большой – вытянутым сфера сфероид эллипсоид

Тор – образуется при вращении окружности вокруг оси, не проходящей через центр окружности Параболоид вращения – образуется при вращении параболы вокруг своей оси

Гиперболоид вращения – различают одно и двух полостной гиперболоиды вращения. Первый получается при вращении вокруг мнимой оси, а второй – вращением гиперболы вокруг действительной оси.

Поверхность с плоскостью параллелизма представляет собой множество прямых линий l (образующих), параллельных некоторой плоскости α (плоскости параллелизма) и пересекающих две данные направляющие m, n В зависимости от формы направляющих образуются три частных вида поверхностей:

Цилиндроид. Цилиндроидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим кривым линиям, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма Цилиндроид

Коноид. Коноидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по двум направляющим, одна из которых кривая линия, а другая прямая, при этом образующая во всех положениях параллельна плоскости параллелизма Коноид

Гиперболический параболоид. Гиперболическим параболоидом или косой плоскостью называется поверхность, образованная движением прямолинейной образующей, параллельной плоскости параллелизма, по двум направляющим линиям – скрещивающимся прямым Гиперболический параболоид

Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная поступательным плоскопараллельным перемещением образующей - плоской кривой линии m по криволинейной направляющей n ПОВЕРХНОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА Геометрическая часть определителя состоит из двух кривых линий образующей - m и направляющей – n Алгоритмическая часть определителя содержит перечень операций: на направляющей п выбираем ряд точек А, В, С,… строим векторы АВ, ВС,… осуществляем параллельный перенос линии m по векторам АВ, ВС, …