Параллелепипед Бийск 2015 Автор: Фефелова Татьяна 10 А класс МБОУ «Средняя общеобразовательная школа 25»

Определение Параллелепипед- это призма, основанием которой служит параллелограмм или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них-параллелограмм.

Типы параллелепипеда Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани-прямоугольники. Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани- прямоугольники. Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основанию.

Свойства параллелепипеда 1)Противоположные грани равны и параллельны. 2)Все 4 диагонали пересекаются в одной точке и делятся пополам. 3)Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали. 4)Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

1)Доказательство: Рассмотрим какие-нибудь 2 противоположные грани параллелепипеда. Например, АА1D1D и BB1C1C. Поскольку все грани параллелепипеда- параллелограммы, то прямая AD параллельна прямой BC, а прямая AA1 параллельна BB1. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны. Из того, что грани параллелепипеда-параллелограммы, следует, что AB, A1B1, CD и C1D1 параллельны и равны. Отсюда, делаем вывод, что грань AA1D1D совмещается параллельным переносом вдоль ребра AB с гранью BB1C1C. Следовательно эти грани равны. Первое свойство параллелепипеда

Второе свойство параллелепипеда Возьмем две диагонали параллелепипеда, например, AC1 и BD1, и проведем дополнительные прямые AD1 и BC1. АВ и D1C1 соответственно равны и параллельны ребру DC, поэтому они равны и параллельны между собою; в следствии этого фигура AD1C1B есть параллелограмм, в котором прямые AC1 и BD1 – диагонали, а в параллелограмме диагонали делятся в точке пересечения пополам. Аналогично мы можем доказать, что две другие диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Точка пересечения каждой пары диагоналей лежит в середине диагонали AC1. Таким образом, все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам. Таким образом, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Доказательство проведем, используя теорему Пифагора. Если AC 1 – диагональ прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, то AB,AD,AA 1 – ее проекции на три попарно перпендикулярные прямые. Следовательно, AC 1 2 =AB 2 +AD 2 +AA1 2

Основные формулы параллелепипеда Прямоугольный параллелепипед: – Площадь боковой поверхности: – S б =Р о *h, где Р о периметр основания, h высота – S б =2c(a+b), где a, b стороны основания, c боковое ребро прямоугольного параллелепипеда – Площадь полной поверхности – S п =S б +2S о, где S о площадь основания – S п =2(ab+bc+ac) где a, b стороны основания, c боковое ребро прямоугольного параллелепипеда – Объём – V=S о *h, где S о площадь основания, h высота – V=abc, где a, b, c измерения прямоугольного параллелепипеда.