компланарныеееййййми Векторы называются компланарныеееййййми, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости. c компланарныеееййййми Другими словами, векторы называются компланарныеееййййми, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости. a c Любые два вектора компланарныееейййй.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарныееейййй. c a k

Три произвольных вектора могут быть как компланарныеееййййми, так и не компланарныеееййййми. На рисунке изображен параллелепипед. АО Е D C Являются ли векторы ВВ 1, ОD и ОЕ компланарныеееййййми? В B1B1

Три произвольных вектора могут быть как компланарныеееййййми, так и не компланарныеееййййми. На рисунке изображен параллелепипед. АО Е D C В B1B1 Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарныееейййй, так как вектор ОС не лежит в плоскости ОАВ. Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС компланарныеееййййми?

B C A1A1A1A1 B1B1B1B1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 Являются ли векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B компланарныеееййййми? Векторы А 1 D 1, A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1. Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости. Векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B не компланарныееейййй.A D

A B C A1A1A1A1 B1B1B1B1 C1C1C1C1 D1D1D1D1 D Являются ли векторы AD и D 1 B компланарныеееййййми? Любые два вектора компланарныееейййй.

Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? В А В1В1 С1С1 D1D1 D С А1А1 АА 1, СС 1, ВВ 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарныееейййй.

Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? В А В1В1 С1С1 D1D1 D С А1А1 АВ, АD, АА 1 Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарныееейййй, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.

Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? В А В1В1 С1С1 D1D1 D С А1А1 В 1 В, АС, DD 1 Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарныееейййй.

Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? В А В1В1 С1С1 D1D1 D С А1А1 АD, CC 1, А 1 B 1 Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарныееейййй, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС. АD, CC 1, А 1 B 1 Векторы не компланарныееейййй

Любые два вектора компланарныееейййй. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарныееейййй. Если вектор можно разложить по векторам и, т.е. представить в виде и, т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы, и компланарныееейййй.ca b c = xa + yb abc Признак компланарности

c = xa + yb Докажем, что векторы компланарныееейййй.b О В В1В1 А1А1 А С ОВ 1 = у ОВОА 1 = х ОА Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ, равный вектору. c c a

Если вектор можно разложить по векторам и, т.е. представить в виде и, т.е. представить в виде где x и y – некоторые числа, то векторы, и компланарныееейййй. c a b c = xa + yb abc Признак компланарности Справедливо и обратное утверждение. Если векторы, и компланарныееейййй, а векторы и не коллинеарны, то вектор можно и не коллинеарны, то вектор можно разложить по векторам и, причем, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. c a b c = xa + yb abc a b

Сложение векторов. Сложение векторов. Правило треугольника. Правило треугольника.a ab b a + b АВ + ВС = АСПОВТОРИМ

Сложение векторов. Правило параллелограмма. a a b b a + b b АВ + АD = АСА В D C ПОВТОРИМ

Сложение векторов. Сложение векторов. Правило многоугольника. Правило многоугольника. = АO АВ + ВС + СD + DO a c n m c m n a+c+m+n aПОВТОРИМ

AВ С В1В1В1В1DЕ Правило параллелепипеда. abc О OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = = a + b + c OA + OB + OC = OD OA + OB + OC = OD из OEDиз OAE OD =

DВ A С B 1 B 1 C1C1C1C1 D1D1D1D Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: АВ + АD + АА 1 A1A1A1A1 = AC 1

В A С C1C1C1C1 D1D1D1D1D Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: DА + DC + DD 1 A1A1A1A1 = DB 1 B 1 B 1

В A С C1C1C1C1 D1D1D1D1D Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A1A1A1A1 = DB 1 B 1 B 1 A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1 DC+ DD 1 + DA

В A С C1C1C1C1 D1D1D1D1D Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A1A1A1A1 = A 1 C B 1 B 1 A 1 A + A 1 D 1 + AB + A 1 B 1 A 1 A + A 1 D 1

В A С C1C1C1C1 D1D1D1D1D Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A1A1A1A1 = BD 1 B 1 B 1 B 1 A 1 + BB 1 + BC BA +BB 1 + BC

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарныеееййййм векторам. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарныеееййййм векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарныеееййййм векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Разложение вектора по трем некомпланарныеееййййм векторам. Разложение вектора по трем некомпланарныеееййййм векторам. Если вектор представлен в виде где, и - некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам, и. Числа, и называются коэффициентами разложения. p = xa + yb + zc c x z py ba x z y

Докажем, что любой вектор можно представить в видеp b c a p C B P1P1 A P P2P2a b c p O По правилу многоугольникаОР = ОР 2 + Р 2 Р 1 + Р 1 Р ОР 2 = x OA Р 2 Р 1 = у OВ Р 1 Р = z OC ОР = x OA + y OB + z OC p = xa + yb + zc

Если предположить, например, что, то из этого равенства можно найти Докажем теперь, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим, что это не так и существует другое разложение вектора p = x 1 a + y 1 b + z 1 c p = xa + yb + zc – o = (x – x 1 )a + (y – y 1 )b + (z – z 1 )c Это равенство выполняется только тогда, когда o oo Тогда векторы компланарныееейййй. Это противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно, и Следовательно, коэффициенты разложения определяются единственным образом.

В A С C1C1C1C1 D1D1D1D1D Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Разложите вектор BD 1 по векторам BA, ВС и ВВ 1. A1A1A1A1 B 1 B 1 ВD 1 = BA + BC + BB 1 По правилу параллелепипеда

В A С C1C1C1C1 D1D1D1D1D Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A, А 1 В и А 1 D 1. A1A1A1A1 B 1 B 1 В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1 По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 : из А 1 В 1 B = (В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1 = = (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1 = = = A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1