Познакомиться с аналитическими методами решения иррациональных неравенств. Отработать первичные умения и навыки решения иррациональных неравенств.

Определение. Неравенства, в записи которых присутствует квадратный корень или корень п-й степени, подкоренные выражения которых содержат переменную, называются иррациональными неравенствами.

Иррациональные неравенства вида f(х) g(х). 1. f(х) g(х). Очевидно, что решения этого неравенства должны удовлетворять условиям f(х) 0, g(х) 0. В этом случае обе части иррационального уравнения неотрицательны, поэтому возведение их обеих частей можно в квадрат – равносильное преобразование неравенства. Таким образом неравенство f(х) g(х) равносильно системе f(х) 0, g(х) 0, f(х) (g(х))².

Решить неравенство: х² - х – 12 х. Данное неравенство равносильно системе неравенств: х² - х – 12 0, х 0, х² - х – 12 х². 1. х² - х – 12 0, х² - х – 12 = 0, х = 4, х = -3 х 4, х 0. Учитывая 2-е и 3-е неравенства системы, получаем: х 4, х -3, х 0, х х Получаемх 4. Ответ: х 4

Иррациональные неравенства вида f(х) g(х). Очевидно, что решения этого неравенства должны удовлетворять условию f(х) 0 а) Если g(х) < 0, то исходное неравенство является истинным для всех х из области определения, т. е. имеет место система: f(х) 0, g(х) < 0. а) Если g(х) 0, тогда обе части неравенства можно возвести в квадрат и получить неравенство, равносильное данному, т. е. имеет место система: f(х) 0, g(х) 0, f(х) (g(х))².

Итак, получили, что f(х) g(х) равносильно совокупности двух систем: f (х) 0, g(х) < 0 f(х) 0, g(х) 0, f(х) (g(х))².

Решить неравенство: х² + х 1 – 5 х. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: х² + х 0, 1 – 5 х 0, х² + х (1 – 5 х)², х² + х 0, 1 – 5 х < 0; 1. х² + х 0. х² + х = 0 х = 0 или х = х² + х (1 – 5 х)², х² + х 1 – 10 х +25 х², 24 х² - 11 х +1 0, 24 х² - 11 х +1 = 0,х = 1/3 или х = 1/8. х 0, х -1, х 0,2 1/8 х 1/3 х 0, х -1, х > 0,2; 1/8 х 0,2, х 0,2;х 1/8. Итак, х С [1/8; + ). Ответ: [1/8; + ).... 1/31/

Иррациональные неравенства вида f(х) (, >, <) g(х). Рассмотрим неравенство f(х) g(х). Очевидно, что решения этого неравенства должны удовлетворять условиям : f(х) 0, g(х) 0. Также очевидно, что левая и правая части исходного неравенства неотрицательны, поэтому возведя обе части в квадрат, получим верное неравенство. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе: f(х) 0, g(х) 0, f(х) g(х). Аналогичные рассуждения для неравенств данного типа знаков, >, и <.

Решить неравенство: 2 – х > х² - х – 2. Данное неравенство равносильно системе: 2 – х 0, х² - х – 2 0, 2 – х > х² - х – 2. х 2, 1. х² - х – 2 0, х² - х – 2 = 0, х = 2 или х = х 2 х -1, 2. 2 – х > х² - х – 2, 2 – х - х² + х + 2 > 0. х² - 4 < 0, х = 2 или х = < х < o o 2-2 Получили, что решением исходного неравенства является промежуток ( -2; -1]. Ответ: ( -2; -1].

Решить неравенства: 1). х + 6 х, 2) х - х² х – 7, 3). (х + 2)(х – 5) < 8 – х, 4). х² - 4 х х – 3, 5). х² - 5 х + 6 х + 4, 6). 17 – 5 х – 2 х² х + 3 7). х² + х 3(х² + х ) – 4, 0, 8. х² - 4 х + 3 < 3 + х.

1. Знать алгоритмы решения иррациональных неравенств. 2. 4, страница 86, пункты а, в, г; (Галицкий ), 217, ( 2, 6), страница 117, (Виленкин).