Подготовили:Глаголев Дмитрий, Натаров Алексей, Никулин Иван, Подовинников Даниил, Татаринцева Татьяна, Хамлова Елена. Руководитель: Дремова Ольга Николаевна.

Цель проекта: обобщить все виды движения, используя анимацию наглядно представить преобразование фигур в ходе выполнения различных видов движения; рассмотреть случаи центральной и осевой симметрии на примере геометрических фигур. План. 1. Определения движения, виды движения. 2. Центральная симметрия. 3. Осевая симметрия. 4. Поворот вокруг точки. 5. Параллельный перенос. 6. Геометрические фигуры, имеющие центр симметрии. 7. Геометрические фигуры, имеющие ось симметрии.

Определение. Фигура F 1 получена преобразованием из фигуры F, если каждая точка фигуры F 1 получена каким- либо смещением соответствующих точек фигуры F.. 1. Определения движения, виды движения. Определение. Преобразование фигуры F в фигуру F 1 называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками. Движением являются следующие преобразования: -центральная симметрия; - осевая симметрия; - поворот вокруг точки; -параллельный перенос.

2. Центральная симметрия. Определение. Точка Х 1 называется симметричной точке Х относительно точки О, если Х 1, Х и О лежат на одной прямой и выполняется условие: ОХ 1 = ОХ, ( О – центр симметрии). Определение. Фигура F1 называется центрально симметричной фигуре F, если каждая точка фигуры F1 центрально симметрична соответствующей точке фигуры F.. А А1А1 О. О, А, А 1 -лежат на одной прямой, АО = А 1 О, А 1 симметрична А относительно точки О. О. F F1F1 F1 симметричная относительно точки О

Дано: точка А, О- центр симметрии. Построить: точку А 1, симметричную точке А относительно точки О. Построение.... А А1А1 О 1. Проведем луч АО, 2. За точку О отложим отрезок ОА 1 = ОА, 3. Точка А 1 – искомая.

Дано: АВС, О – центр симметрии. О А В С Построение: 1)Проведём луч АО. 2)Отложим А 1 О=АО. 3)Проведём луч ВО. 4)Отложим В 1 О=ВО. 5)Проведём луч СО. 6)Отложим С 1 О=СО. 7)Достроим А 1 В 1 С 1 – искомый. А1А1 В1В1 С1С1 Построить : АВС, симметричный А 1 В 1 С 1 относительно центра О.

Дано: АВСD – четырехугольник, О – центр симметрии. А В С D О Построение: 1)Проведём луч АО. 2)Отложим А 1 О=АО. 3)Проведём луч ВО. 4)Отложим В 1 О=ВО. 5)Проведём луч СО. 6)Отложим С 1 О=СО. 7)Проведём луч DO. 8)Отложим D 1 O=DO. 9)Достроим A 1 B 1 C 1 D 1 – искомый. А1А1 В1В1 С1С1 D1D1 Построить: A 1 B 1 C 1 D 1 - симметричный ABCD относительно центра О.

3. Осевая симметрия. Определение. Точка А 1 симметрична точке А относительно прямой п, если прямая АА 1 перпендикулярна прямой п и расстояния от точек А и А 1 до прямой п равны. Определение. Фигура F 1 называется симметричной фигуре F относительно прямой п, если каждая точка фигуры F 1 симметрична соответствующей точке фигуры F относительно прямой п (п – ось симметрии). А – точка, не принадлежащая прямой п, АА 1 п,АН = А 1 Н, Точка А 1 симметрична точке А относительно прямой п... п А А1А1 Н Фигура F 1 симметрична фигуре F относительно прямой п. п F1F1 F

Дано : точка А, п – ось симметрии. Построить: точку А1, симметричную точке А относительно прямой п. Построение. 1. Опустим из точки А перпендикуляр АН на прямую п и продлим его за точку Н. 2. За точку Н отложим отрезок НА 1 = НА. 3. Получили : точка А 1 – искомая... А А1А1 Н п

Дано: АВСD- четырёхугольник; А В С D - ось симметрии. Построить: А B C D симметричный АВСD относительно прямой. Построение. 1) Проведем луч АО О. 2) Отложим ОА = ОА. А 3) П роведем луч ВО 1 4) Отложим О 1 В = O 1 В. О 1. В 5) П роведем луч СО 2 О 2. 6) Отложим О 2 С = О 2 С. С 7) П роведем луч DO 3. О 3 8) Отложим O 3 D = O 3 D. D 9) Достроим четырехугольник А B C D – искомый.

Дано: АВСDE- пятиугольник; А В С D E - ось симметрии. Построить: А B C D E симметричный АВСDE относительно прямой. Построение: 1) П роведем луч АО. О 2) Отложим ОА = ОА. А 3) П роведем луч ВО 1. О 1 4) Отложим О 1 В = О 1 В. В 5) П роведем луч СО 2. О 2 6) П роведем О 2 С = О 2 С. С 7) П роведем луч DO 3. О 3 8) Отложим О 3 D = О 3 D. D 9) П роведем луч О 4 Е О 4. 10) Отложим О 4 Е = О 4 Е. E 11) Достроим пятиугольник А B C D – искомый.

4. Поворот вокруг точки. Определение. Поворотом точки А вокруг точки О на угол α называется преобразование, при котором точка А переходит в точку А 1 такую, что ОА = ОА 1 и АОА 1 = α (О – центр поворота, α – угол поворота).... О А А1А1 α О – центр поворота.ОА = ОА 1 ; АОА 1 = α. Точка А1 получена из точки А поворотом вокруг точки О на угол α

Дано: A B C O A'A' B' C' M L K ABC, O – центр поворота. A'B'C', полученный поворотом ABC вокруг O на -8О°. Построение. 1) Проведём луч OA. 2) Отложим OAK = -8O° и OA'=OA. 3) Проведём луч OB. 4) Отложим OBL = -8O° и OB'=OB.. 5) Проведём луч OC. 6) Отложим OCM = -8O° и OC'=OC. 7) Достроим A'B'C' – искомый. Построить:

A B C D E O K L P N M A' B' C' D' E' Дано: ABCDE – пятиугольник. Построить: A'B'C'D'E', полученный поворотом ABCDE вокруг O на 1 20°. Построение: 1) Проведём луч OA 2) Отложим AOK=120°, 3) Аналогично достроим образы точек B – B', C – C',D – D',E – E'. 4) Достроим A'B'C'D'E' – искомый. OA'=OA. O – центр поворота.

Дано: ABCDE – пятиугольник О – центр поворота. Построить: ABCDE, полученный поворотом ABCDE на – 90 º. Построение. 1)Проведём лучи ОА, ОВ, OC, OE, так чтобы АОА=ВОВ=СОС=DOD=EOE=90 ° 2)Отложим отрезки ОА=ОА, ОВ=ОВ, ОС=ОС, OD=OD, ОЕ=ОЕ, 3)Попарно соединим точки A,B,C,D,E. 4) ABCDE – искомый пятиугольник. А В С D Е О A B C D E (1).

Дано: ABCDE-пятиугольник, О -центр симметрии. Построить: ABCDE, полученный поворотом ABCDE на -90˚. 4) Достроим ABCDE- искомый. A B C D E B D A C E О (2). Построение: 1) Проведём луч АО, отложим AOA =90˚ и АО=А О. 2) Проведём луч ВО; отложим BOB =90˚ и ВО=В О; 3) Аналогично достроим образы точек С, D, E.

5. Параллельный перенос. Определение. Параллельным переносом называется преобразование, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Пример параллельного переноса фигуры. F F1F1 Параллельный перенос на плоскости задается вектором.

А В С n A` B`B` C` Дано: АВС. Построить : A`B`C`, полученный параллельным переносом АВС на вектор п. Построение. ОО`О`O`` 1. Проведем луч АО.Отложим АA`= n. 2. Проведем луч BO`. Отложим BB`= n. 3. Проведем луч CO``. Отложим CC`= n. 4. Достроим A`B`C`- искомый....

А В С D n A` C` D` B` Дано: четырехугольник ABCD, Построить: четырехугольник A`B`C`D, полученный параллельным переносом ABCD на вектор п. Построение. 1. Проведем луч АО. Отложим AA`= |n|. 2. Проедем луч ВО`. Отложим ВВ`= |n|. 3. Проведем луч СО``. Отложим СC`= |n|. 4. Проведем луч DO```.Отложим DD`= |n|. 5. Достроим A`B`C`D` - искомый. O O` O`` O``` вектор п.

6. Геометрические фигуры, имеющие центр симметрии. Многие фигуры на плоскости имеют центр симметрии. Это прямая, отрезок, окружность и круг, некоторые виды четырехугольников, некоторые правильные многоугольники. Центром симметрии прямой является каждая ее точка О Точка О – центр симметрии прямой а. а Центром симметрии отрезка является его середина. А В О – середина отрезка АВ. О – центр симметрии отрезка.... О

Центр окружности (или круга) является центром его симметрии.. О О – центр симметрии окружности. Центром симметрии квадрата является точка пересечения его диагоналей. О.... О – центр симметрии квадрата.. Центр симметрии прямоугольника – точка пересечения его диагоналей. О.. О – центр симметрии прямоугольника.

Центр симметрии имеют также: ромб параллелограмм правильный шестиугольник правильный восьмиугольник О О О О и другие.

6. Геометрические фигуры, имеющие ось симметрии. К фигурам, имеющим ось симметрии относятся прямая, отрезок, окружность и круг, прямоугольник, ромб, квадрат, равнобедренный и равносторонний треугольник, равнобокая трапеция, правильные шестиугольник, восьмиугольник и другие. Осью симметрии прямой является любая перпендикулярная ей прямая. а п Осью симметрии отрезка является серединный перпендикуляр, проведенный к этому отрезку. А В п п - ось симметрии прямой а п - ось симметрии отрезка АВ

Ось симметрии окружности (или круга) – прямая, проходящая через центр окружности (круга). О Оси симметрии прямоугольника – прямые, проходящие через середины противолежащих сторон. Оси симметрии квадрата –прямые, проходящие через середины его сторон и прямые, содержащие диагонали.

Ось симметрии равнобедренного треугольника – прямая, содержащая медиану, проведенную к основанию этого треугольника. Оси симметрии равностороннего треугольника – прямые, содержащие медианы этого треугольника.

Ось симметрии равнобокой трапеции – прямая, проходящая через середины её оснований. Оси симметрии правильного шестиугольника – прямые, проходящие через середины противолежащих сторон и вершин.

Использованная литература: Л. С. Атанасян и др., «Геометрия 7-9»,Москва, Просвещение, 2006 год; А. В. Погорелов и др., «Геометрия 7-11», Москва, просвещение 2000 год; Е. М. Рабинович, «Задачи и упражнения на готовых чертежах», «ИЛЕКСА», Москва, 2006 год.