Автор проекта : Сорокивская Юлия, ученица 7«А» класса Руководитель : Туренко Марина Альбертовна,учитель математики. Муниципальное образовательное учреждение Лицей 10 им. Д.И. Менделеева.

В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений. В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

Неразрешимые задачи. Древнегреческие математики достигли чрезвычайно большого искусства в геометрических построениях с помощью циркуля и линейки. Однако три задачи не поддавались их усилиям. Только в XIX веке было доказано, что все три задачи не разрешимы циркулем и линейкой. Вопрос возможности построения полностью решён алгебраическими методами, основанными на теории Галуа. КЛАССИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДРЕВНОСТИ. Трисекция угла разбить произвольный угол на три равные части. Удвоение куба построить отрезок, являющийся ребром куба в два раза большего объёма, чем куб с данным ребром. Квадратура круга построить квадрат, равный по площади данному кругу. Другая известная неразрешимая с помощью циркуля и линейки задача построение треугольника по трём заданным биссектрисам.

Схема решения задач на построение: 1. Анализ – рисунок искомой фигуры, устанавливающий связи между данными задачи и искомыми элементами, и план построения. 2. Построение по намеченному плану. 3.Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи. 4. Исследование – при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько?

Методы решения задач на построение: Метод геометрических мест; Преобразования и геометрические места; Метод построения вспомогательной фигуры; Метод подобия; Алгебраический метод.

Метод геометрических мест. Даны окружность О и точка А вне окружности. Требуется провести через точку А касательную к данной окружности.. О. А. в

Метод геометрических мест. Даны окружность О и точка А вне окружности. Требуется провести через точку А касательную к данной окружности.. О. А Допустим, что задача решена:. в Анализ…

Метод геометрических мест. Даны окружность О и точка А вне окружности. Требуется провести через точку А касательную к данной окружности.. О. А Допустим, что задача решена:. в Анализ… Точки касания лежат на пересечении данной окружности О и окружности построенной на отрезке ОА как на диаметре..к.к Вывод…

Построение угла с данной биссектрисой. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой к. Постройте точку М так, чтобы прямая к была биссектрисой угла АМВ. Анализ Допустим, что задача решена : k А.А. В.В.

Построение угла с данной биссектрисой. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой к. Постройте точку М так, чтобы прямая к была биссектрисой угла АМВ. Анализ Допустим, что задача решена : k А.А. В.В. Подгоните точку М так, чтобы углы были примерно равны. Как проверить построением что угла равны ? -Совместить их. А как ? М

Построение угла с данной биссектрисой. Точки А и В лежат по разные стороны от прямой к. Постройте точку М так, чтобы прямая к была биссектрисой угла АМВ. Анализ Допустим, что задача решена : Тогда точка В 1,симметричная точки В относительно прямой к лежит на луче МА. k А.А..В.В Построение: 1. Построить точку В 1, симметричную точке В относительно прямой k. 2. Провести прямую АВ На пересечении прямой k и АВ 1 получим точку М. 4. Получим угол АМВ, где луч k - его биссектриса.. М В1.В1.

Применение центральной симметрии. Требуется провести отрезок ХУ с концами на сторонах угла АОВ, проходящий через данную внутри угла точку М так, чтобы эта точка делила отрезок пополам. В А О.О.

Применение центральной симметрии. Требуется провести отрезок ХУ с концами на сторонах угла АОВ, проходящий через данную внутри угла точку М так, чтобы эта точка делила отрезок пополам. В.В. А.А. О.О..м.м 1. Возьмем на стороне ОА точку Р. И построим отрезок с концом в этой точке и серединой в данной точке М. 2.Подберём такое положение точки Р, что второй конец Р 1 попал на вторую сторону угла. 3. Проведем луч в точке О 1, симметричной точки О относительно М, проходящий через точку Р 1..Р1.Р1 Р

. O Y P1P1 MO1O1 P X Точка пересечения луча О 1 Р 1 со стороной угла и будет одним из концов искомого отрезка(У). Проведя луч УМ до пересечения со стороной ОР получим точку Х. ХУ – искомый отрезок. Построение отрезка ХУ:

Построение трапеции по четырем сторонам. Требуется построить трапецию по основаниям а и b (a>b) и боковым сторонам c и d. Анализ… Пусть АВСD искомая трапеция. Фиксируем основание АВ = а. Тогда вершина D должна лежать на окружности L 1 радиуса d с центром А, а В на окружности L 2 радиуса с в точке В. A..B D..C d a c b Дано: а b c d

Построение трапеции по четырем сторонам. Требуется построить трапецию по основаниям а и b (a>b) и боковым сторонам c и d. Анализ… A..B D..C d a c b Но, кроме этого, точка С должна быть построена так,что DC =b и векторы DC и АВ сонаправлены. Построим её взяв в качестве точки D любую точку на L 1. Затем сместим окружность L 1 на отрезок в и построим окружность L 3. Это надо для того, чтобы точка С попала на окружность L 2. L1L1 L2L2

Построение трапеции по четырем сторонам. Требуется построить трапецию по основаниям а и b (a>b) и боковым сторонам c и d. A..B D..C d a c b L1L1 L2L2 L3L3

Метод геометрических мест. Построить треугольник по двум сторонам b и c и заключенной между ними медианой m. Дано: b c m.А.А. А. 2m B.B.B C B C.C.C.B.B Построение:

1) Начертим координатную плоскость. 4) От точки пересечения окружности А и О проведём полуокружность В. 2) Проведём окружность с центром в точке О. 3) Отметим точку А на оси OX,и от неё проведём окружность радиуса АК. 5) Отметим точки пересечения для построения пятиугольника. 6) Соединим точки.