Белорусский государственный университет Кафедра дифференциальных уравнений и системного анализа Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление» Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

Диссертант: Малышева Ольга Николаевна Диссертант: Малышева Ольга Николаевна Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Черкас Леонид Антонович Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Черкас Леонид Антонович

Оглавление Объект и предмет исследования Цель исследования Задачи исследования Научная новизна Положения, выносимые на защиту Актуальность Сфера применения

Актуальность При качественном исследовании автономных систем на плоскости наиболее трудной является задача оценки максимального числа предельных циклов и их взаимного расположения (вторая часть шестнадцатой проблемы Гильберта). Важную роль приобретают частные признаки, при помощи которых можно судить о наличии или отсутствии предельных циклов хотя бы для отдельных классов динамических систем на плоскости. Исследования проводятся в соответствии с Государственной программой фундаментальных исследований «Конвергенция», задание «Конструктивные качественные и аналитические методы исследования моделей некоторых классов нелинейных динамических систем и нелинейных эволюционных уравнений».

Предмет: Предельные циклы систем Льенара, квадратичных систем и отдельных классов кубических систем. Объект: Полиномиальные системы автономных дифференциальных систем на плоскости: системы Льенара, квадратичные системы, отдельные классы кубических систем. Исследование

Цель исследования Разработка эффективного конструктивного метода оценки числа предельных циклов с учетом их взаимного расположения для параметрических семейств систем Льенара, квадратичных и отдельных классов кубических систем.

Задачи исследования Разработать алгебраический алгоритм для оценки числа предельных циклов с учетом их взаимного расположения при возмущении индивидуальной системы, имеющей особую точку типа центр и применить его к системам Льенара, квадратичным и кубическим системам. Построить конкретные системы Льенара, квадратичные и кубические системы с заданными распределениями предельных циклов. Построить набор исследуемых систем, для которых доказывается точность полученных распределений предельных циклов при помощи построения функции Дюлака-Черкаса. Распространить метод обобщенных функций Дюлака на системы с цилиндрическим фазовым пространством.

Положения, выносимые на защиту

Положения, выносимые на защиту 2 1. Разработка алгебраического алгоритма оценки числа предельных циклов и их локализации систем Льенара и квадратичных систем. 2. Разработка алгоритма построения систем Льенара, квадратичных систем, систем Абеля с различными распределениями предельных циклов. 3. Точная оценка числа предельных циклов некоторых параметрических семейств систем Льенара, квадратичных систем с помощью построения функции Дюлака-Черкаса. 4. Построение эффективных методов аппроксимации предельных циклов некоторых параметрических систем Льенара.

Научная новизна Разработан метод оценки числа предельных циклов и их локализации некоторых возмущенных квадратичных гамильтоновых систем.

Сфера применения Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы при исследовании нелинейных динамических систем, в теории нелинейных колебаний, биофизике и других приложениях качественной теории. Они также могут найти применение при чтении спецкурсов по качественной теории дифференциальных уравнений.