Геометрия 10 класс Урок новых знаний

Учись мой сын, и легче и яснее Державный труд ты будешь постигать А. Пушкин Это мы знаем Предстоит узнать

Это мы знаем: Взаимное расположение прямых в пространстве прямой и плоскости в пространстве

Взаимное расположение прямых в пространстве a || b a b = M a и b - скрещивающиеся

Это мы знаем: Взаимное расположение прямой и плоскости

Прямая лежит в плоскости a

Прямая не лежит в плоскости a = М a ||

m

Вспомним план изучения тем геометрии 1. Определение понятий 2. Признаки 3. Свойства 4. Опорные задачи 5. Применение к решению задач разного типа

Каково взаимное расположение двух плоскостей в пространстве?

Две плоскости имеют общую точку, то по аксиоме пересечения двух плоскостей - общую прямую. Такие плоскости называются пресекающимися.

Такие плоскости называются параллельными. ||β

Это мы изучим сегодня Параллельность плоскостей

Каким может быть план изучения темы? 1. Определение параллельных плоскостей. 2. Признаки параллельных плоскостей. 3. Свойства параллельных плоскостей. 4. Применение при решении задач.

Определение сами сформулируйте определение параллельных плоскостей.

Определение: Две плоскости, не имеющие общей точки, называются параллельными. || β

Попытайтесь сформулировать признаки параллельности плоскостей сами: Ваша задача, пользуясь готовым чертежом, воссоздать картинку на моделях (работаем в парах); Определить, какой из предложенных рисунков может иллюстрировать признак параллельности плоскостей. Как в таком случае поступим?

a || β, || β - ? a a β Рисунок 1

Рисунок 2 a || b, || β - ? a a β b

Рисунок 3 a || b a a β b a1a1 b1b1 ||β - ? a || a 1, b || b 1

Рисунок 4 a b = M, a || a 1, b || b 1 || β -?

Рисунок 5 b || β a || β, a b = M, || β - ? a β a b M

Рисунок 6 m \ m \ β || β - ? a β m

Рисунок 7 ll γ β ll γ || β - ? a β γ

1 признак параллельности плоскостей Сформулируйте признак параллельности плоскостей, смотря на соответствующий рисунок.

Теорема ( I признак параллельности плоскостей) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Докажите самостоятельно.

С чего мы обычно начинаем работу над теоремой?

Работаем с формулировкой

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Дано:, β, a, b, a b = M, a 1 β, b 1 β, a || a 1, b || b 1 Доказать: || β

Идея: Рассуждаем методом от противного Пусть β = c, т.е. c и c β.

Идея: Используем метод от противного. а 1 а 1 b1b1

Доказательство: Идея: Используем метод от противного. Допустим β = с, т.е. с β и с I этап: a || β и b || β по признаку параллельности прямой и плоскости, то a и b не пересекают с, т.к. с β а || с и b || с, т.к. они лежат в одной плоскости. II этап: получили противоречие с утверждением о параллельных: через точку М можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой. Вывод: предположение, что β неверно, т.е. || β а 1 а 1 b1b1

2 признак параллельности плоскостей Сформулируйте признак параллельности плоскостей, смотря на соответствующий рисунок.

Теорема ( II признак параллельности плоскостей) Если каждая из двух пересекающихся прямых одной плоскости параллельна другой плоскости, то данные плоскости параллельны. Самостоятельно докажите признак

Теорема I: Если каждая из двух пересекающихся прямых одной плоскости параллельна другой плоскости, то данные плоскости параллельны. Дано: a b a b = M a || β b || β Доказать: || β

Доказательство. Рассуждаем методом от противного Предположим, что плоскости ά и β не параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с (см. рис. 82). В плоскости ά расположены прямая с и данные пересекаю­щиеся прямые а и b. Так как из двух пересекающихся пря­мых не более, чем одна может быть параллельна данной пря­мой, то прямая с пересекает, по крайней мере, одну из пря­мых а и b. Пусть с пересекает прямую а в некоторой точке К: a с = К. Имеем: прямая с, следовательно, и точка К лежат в плос­кости β. Значит, прямая а пересекает плоскость β. Это проти­воречит условию теоремы (а || β). Также к противоречию с условием теоремы придем, если допустим, что пересекаются прямые с и b или прямая с пере­секает обе прямые а и b. Таким образом, предположив, что плоскости ά и β не парал­лельны, мы пришли к противоречию. Это означает, что пред­положение неверно. Следовательно, ά II β. Теорема доказана.

I случай II случай III случай a c = K, b | | c b c = E, a | | c a c и b c

Пусть β = c, т.е. c и c β. a c = K, то b c = E, то a c и b c, то К a, К β, т.к. a β, что противоречит условию a || β Е b, Е β, т.к. Е c и c β. b β, что противоречит условию b || β К a, К β a β Е b, Е β b β, что противоречит условию a || β и b || β К c и c β.

Вывод: Наше предположение, что β неверно, следовательно, || β. Теорема доказана.

Вернёмся к первому признаку Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Самостоятельно докажите этот факт еще раз, используя другую идею.

Затребованная помощь к первому признаку I карточка: условие и заключения теоремы.I карточка II карточка: рисунок.II карточка III карточка: идея доказательства.III карточка IV карточка: I этап доказательства.IV карточка V карточка: II этап доказательства.V карточка

I карточка: условие и заключения теоремы. Дано:, β, a, b, a b = M, a 1 β, b 1 β, a || a 1, b || b 1 Доказать: || β

II карточка: рисунок.

III карточка: идея доказательства. Используй предыдущую теорему II признак параллельности плоскостей

IV карточка: I этап доказательства. 1. a || a 1, a 1 β a || β (по признаку параллельности прямой и плоскости) 2. b || b 1, b 1 β b || β (по признаку параллельности прямой и плоскости)

V карточка: II этап доказательства. Т.к. a || β и b || β, a b = M, согласно 2 признаку || β.

Идея: Использовать при доказательстве 2 признак параллельности плоскостей. I этап: доказать, что a || β и b || β. a || a 1, a 1 β a || β b || b 1, b 1 β b || β (по признаку параллельности прямой и плоскости) II этап: согласно 2 признаку: a || β и b || β, a b = M, то Вывод: || β Дано:, β, a, b, a b = M, a 1 β, b 1 β, a || a 1, b || b 1 Доказать: || β Доказательство:

Решите задачи: Задача 1 ( стр.56, Е.В. Потоскуев ) Точки А, В и С лежат в плоскости и не лежат на одной прямой. Равные и параллельные отрезки АА 1, ВВ и СС расположены по одну сторону от плоскости. Докажите, что (А 1 В 1 С 1 ) || (АВС)

Задача 2 ( ) Точка В не лежит в плоскости треугольника AEC, точки М, К и Р – середины отрезков соответственно АВ, ВС и ВЕ. а) Докажите, что (МКР) || (АЕС). б) Найти площадь треугольника МКР, если площадь треугольника АВС равна 48 см 2

Задача 3 В тетраэдре PABC провести сечение А 1 В 1 Р 1, параллельное грани АВР. Дано: PABC – тетраэдр А В Р С А1А1 В1В1 Р1Р1 Построить: сечение А 1 В 1 Р 1, параллельное грани АВР.

I этап Анализ: Пусть сечение А 1 В 1 Р 1 построено и (А 1 В 1 Р 1 ) || (АВР). По признаку параллельности плоскостей (А 1 В 1 Р 1 ) || (АВР), если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости. Очевидно, что нужно провести В 1 Р 1 || ВР и А 1 Р 1 || АР.

II этап Построение: 1. Р 1 РС 2. В 1 Р 1 || ВР, В 1 Р 1 (ВРС) 3. А 1 Р 1 || АР, А 1 Р 1 (АРС) 4. А 1 В 1, А 1 В 1 (АВС) 5. А 1 В 1 Р 1 - сечение А В Р С А1А1 В1В1 Р1Р1

III этап Доказательство: (А 1 В 1 Р 1 ) || (АВР) по признаку.

IV этап Исследование: Т.к. на РС можно взять множество точек, то сечений можно провести множество

домашнее задание: 1. Приготовиться к конкурсу шпаргалок «Признаки параллельности плоскостей». ( Это задание поможет запомнить доказательство теорем) 2. Выполнить графическую работу 2 « Параллельность в пространстве» ( стр.54-55) любые 7-12 рисунков. (Это задание развивает навыки пространственного воображения и геометрическую культуру); 3. Решить задачи 4.009, Есть выбор: по желанию учеников подготовить презентацию к решению задач или графической работе.(Вместо 1 и 2).

Я услышал и забыл. Я увидел и запомнил. Я сделал и понял. Чарльз Беббидж

- С какими новыми понятиями и признаками мы познакомились? –Какие теоретические знания использовались при доказательстве? –Какова цель их использования? –Что возьмём на будущее?

Лист самооценки знаний и умений ученика 10 а класса по теме ФИО Ставим отметку по каждому пункту и находим сумму баллов Как я умею работать с моделями? Работа на распознавание признака по предложенным рисункам. Доказательство 1 признака (самостоятельно по учебнику). Усвоение теоремы (работа в группе). Доказательство 1 признака вторым способом (самостоятельная работа в паре) Решение задач на применение признаков. Итого: Критерий итоговой отметки баллов - «5» балла - «4» баллов - «3»