Задание В9 содержит задачи на нахождение объемов и площадей поверхностей пространственных фигур. Оно проверяет развитие пространственных представлений учащихся, умения проводить построения в пространстве, находить объемы и площади поверхностей многогранников, круглых тел и их комбинаций. Для успешного выполнения этого задания требуются знания основных формул для нахождения значений геометрических величин пространственных фигур; умения проводить дополнительные построения на изображениях пространственных фигур, работать с формулами, выполнять преобразования и производить действия с числовыми выражениями в процессе решения задачи.

1. Диагональ куба равна. Найдите его объем. Ответ. 8. Решение. Если ребро куба равно a, то его диагональ равна. Отсюда следует, что если диагональ куба равна, то его ребро равно 2 и, значит, объем этого куба равен 8.

2. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба. Ответ. 2. Решение. Если ребро куба равно x, то площадь его поверхности равна 6x 2. Если ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности будет равна 6(x+1) 2. Учитывая, что площадь поверхности куба при этом увеличивается на 30, получаем уравнение 6(x+1) 2 = 6x , решая которое, находим x = 2.

3. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 о. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 о и равно 2. Найдите объем параллелепипеда. Ответ. 1,5. Решение. Площадь грани параллелепипеда, являющейся ромбом со стороной 1 и острым углом 60 о, равна. Высота, опущенная на эту грань, равна. Объем параллелепипеда равен 1,5.

4. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы. Ответ. 8. Решение. Площадь основания отсеченной призмы равна четверти площади основания исходной призмы. Высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы. Следовательно, объем отсеченной призмы равен четверти объема исходной призмы, т.е. равен 8.

5. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза? Ответ. 8. Решение. Воспользуемся тем, что если два тетраэдра подобны и коэффициент подобия равен k, то отношение объемов этих тетраэдров равно k 3. Если ребра тетраэдра увеличить в два раза, то объем тетраэдра увеличится в 8 раз.

6. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Ответ Решение. Высота боковой грани пирамиды равна 12. Площадь боковой грани равна 60. Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна 360.

7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 22. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 4, четырех прямоугольников площади 2 и двух невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.

8. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Решение 1. Многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов, объемы которых равны 2 и 4. Следовательно, объем многогранника равен 6. Ответ. 6. Решение 2. Многогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 2. Следовательно, объем многогранника равен 6.

9. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 22. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 4, четырех прямоугольников площади 2, и двух невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.

10. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Решение 1. Многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов, объемы которых равны 2 и 4. Следовательно, объем многогранника равен 6. Ответ. 6. Решение 2. Многогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 2. Следовательно, объем многогранника равен 6.

11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 22. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 4, четырех прямоугольников площади 2 и двух невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 22.

12. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Решение 1. Многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов, объемы которых равны 2 и 4. Следовательно, объем многогранника равен 6. Ответ. 6. Решение 2. Многогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 2. Следовательно, объем многогранника равен 6.

13. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 24. Решение. Поверхность многогранника состоит из трех квадратов площади 4, трех квадратов площади 1 и трех невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 24.

14. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 7. Решение. Многогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием куба, объем которого равен 1. Следовательно, объем многогранника равен 7.

15. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 24. Решение. Поверхность многогранника состоит из трех квадратов площади 4, трех квадратов площади 1 и трех невыпуклых шестиугольников площади 3. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 24.

16. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 7. Решение. Многогранник получается из куба, объем которого равен 8, вырезанием куба, объем которого равен 1. Следовательно, объем многогранника равен 7.

17. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 92. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 16, прямоугольника площади 12, трех прямоугольников площади 4, двух прямоугольников площади 8, и двух невыпуклых восьмиугольников площади 10. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 92.

18. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 48. Решение. Многогранник получается из прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 48, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 8. Следовательно, объем многогранника равен 40.

19. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 92. Решение. Поверхность многогранника состоит из двух квадратов площади 16, прямоугольника площади 12, трех прямоугольников площади 4, двух прямоугольников площади 8, и двух невыпуклых восьмиугольников площади 10. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 92.

20. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 48. Решение. Многогранник получается из прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 48, вырезанием прямоугольного параллелепипеда, объем которого равен 8. Следовательно, объем многогранника равен 40.

21. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ. 38. Решение. Поверхность многогранника состоит из квадрата площади 9, семи прямоугольников площади которых равны 3, и двух невыпуклых восьмиугольников площади которых равны 4. Следовательно, площадь поверхности многогранника равна 38.

22. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 10. Решение. Многогранник составлен из двух прямоугольных параллелепипедов, объемы которых равны 9 и 1. Следовательно, объем многогранника равен 10.

23. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые). Ответ. 48.

24. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые. Ответ. 12.

25. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3. Ответ. 27. Решение. Площадь основания пирамиды равна 27, высота равна 3. Следовательно, объем пирамиды равен 27.

26. Площадь поверхности тетраэдра равна 1. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. Ответ. 0,5.

27. Объем тетраэдра равен 1. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра. Ответ. 0,5.

28. Объем куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 12. Найдите объем тетраэдра ACB 1 D 1, вписанного в этот куб. Ответ. 4. Решение. Тетраэдр получается отсечением от куба четырех треугольных пирамид, объемы которых равны одной шестой объема куба. Следовательно, объем тетраэдра равен 4.

29. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите. Ответ. 0,5.

30. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите. Ответ. 1,5.

31. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите. Ответ. 0,5.

32. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите. Ответ. 2,5.

33. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите. Ответ. 1,5.

34. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите. Ответ. 9.

35. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите. Ответ. 1.

36. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите. Ответ. 3.

37. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите. Ответ. 3.

38. Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите. Ответ. 15.

39. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 дм 3 воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали? Ответ. 3. Решение. Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объем увеличился в 1,5 раза, т.е. стал равен 9 дм 3. Следовательно, объем детали равен 3 дм 3.

40. Радиусы двух шаров равны 6 и 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей. Ответ. 10. Решение. Площади поверхностей данных шаров равны и. Их сумма равна. Следовательно, радиус шара, площадь поверхности которого равна этой сумме, равен 10.

41. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда. Ответ. 32. Решение. Ребра параллелепипеда равны 4, 4, 2 и, следовательно, его объем равен 32.

42. В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объем шара, деленный на. Ответ. 36. Решение. Радиус шара равен 3. Объем шара равен 36, а объем, деленный на равен 36.

43. Найдите объем фигуры, изображенной на рисунке, составленной из двух частей цилиндров Ответ.. Решение. Повернем верхнюю часть цилиндра, как показано на рисунке. В результате получим цилиндр, радиус основания которого равен 0,5, а высота равна 3. Следовательно, искомый объем равен.