Из школьного курса геометрии хорошо известен признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, а именно: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Естественно поставить вопрос о том, будут ли равны треугольники, если соответствующие равные углы в треугольниках не заключены между равными сторонами. Верно ли, что если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Оказывается это неверно. Приведем соответствующий пример. Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABC. С центром в точке A проведем другую окружность, пересекающую сторону BC в некоторой точке C 1. Тогда в треугольниках ABC и ABC 1 AB – общая сторона, AC = A 1 C 1, угол B равен углу B 1, однако треугольники ABC и ABC 1 не равны.

Теорема. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники равны. Пусть в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 С = С 1, AB = A 1 B 1, высота AH равна высоте A 1 H 1. Докажем, что треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Действительно, прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, B = B 1. Учитывая, что С = С 1, имеем равенство A = A 1. Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, A = A 1, B = B 1. Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.