Определение Поверхность второго порядка геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Определение Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей l, если для любой точки M 0 этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей, целиком принадлежит поверхности

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности) Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность имеет уравнение f(x,y)=0, то S цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Oz

Определение Кривая, задаваемая уравнением f(x,y)=0 в плоскости z=0, называется направляющей цилиндрической поверхности направляющая образующая

Определение Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка

Эллиптический цилиндр образующая направляющая

Гиперболический цилиндр

Параболический цилиндр направляющая образующая

Конические поверхности

Определение Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M 0 этой поверхности прямая, проходящая через M 0 и O, целиком принадлежит этой поверхности

M0M0 направляющая образующая

Теорема (об уравнении конической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x,y,z)=0, где F(x,y,z) однородная функция, то S коническая поверхность с вершиной в начале координат

Определение Если поверхность S задана функцией F(x,y,z), являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то S называется конической поверхностью второго порядка

Конус второго порядка

Поверхности вращения

Определение Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси Oz, если для любой точки M 0 этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z 0 с центром в (0,0, z 0 ) и радиусом, целиком принадлежит этой поверхности

Теорема (об уравнении поверхности вращения). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением то S поверхность вращения вокруг оси Oz

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

Эллипсоид

Однополостной гиперболоид

Двуполостной гиперболоид

Эллиптический параболоид Сечения z=z 0 эллипс x=x 0 парабола y=y 0 парабола

Гиперболический параболоид Сечения z=z 0 гипербола x=x 0 парабола y=y 0 парабола