(фантазія з теми « БАГАТОГРАННИКИ ») Виконала: викладач математики Живогляд С.В. Лисичанський професійний будівельний ліцей

«У величезному саду геометрії кожен знайде букет собі за смаком.» Д. Гильберт «Математика є прообраз краси світу.» Іоганн Кеплер

Правильних багатогранників зухвало мало, але цей дуже скромний за чисельністю загін зумів пробратися в самі глибини різних наук. Л. Кэррол

Математика володіє не лише істиною, але і вищою красою - красою відточеною і строгою, піднесено чистою і прагнучою до справжньої досконалості, яка властива лише найбільшим зразкам мистецтва. Бертран Рассел

ПЛАН ВИВЧЕННЯ ТЕМИ Визначення правильного опуклого багатогранника. Платонові тіла, їх види. Формула Ейлера для опуклих багатогранників. Формули для обчислення об'єму і площі поверхні правильних багатогранників. Зірчасті багатогранники, їх види. Архімедові тіла, їх види. Використання форми правильних багатогранників природою та людиною.

Букет ПуансоПуансо Букет Платона

ПРАВИЛЬНИЙ БАГАТОГРАННИК- опуклий багатогранник, грані якого є правильними багатокутниками з одним і тим же числом сторін і в кожній вершині якого сходиться одне і те ж число ребер. Правильні багатогранники іноді називають Платоновими тілами.

ПЛАТОНОВІ ТІЛА – правильні опуклі багатогранники. ПЛАТОНОВІ ТІЛА ТЕТРАЕДРКУБ ОКТАЕДР ДОДЕКАЕДР ІКАСАЕДР

Платон 428 (427) – 348 (347) р.р. до нашої ери Старогрецький філософ- ідеаліст. У вченні Платона правильні многогранники грали важливу роль. Тетраедр символізував вогонь, куб - землю, октаедр - повітря, ікосаедр - воду, а додекаедр - Всесвіт

ТЕТРАЕДР Тетраедр - представник Платонових тіл, тобто правильних опуклих багатогранників. Поверхня тетраедра складається з чотирьох рівносторонніх трикутників, що сходяться в кожній вершині по три.

КУБ (ГЕКСАЕДР) Куб або гексаедр - представник Платонових тіл, тобто правильних опуклих многогранників. Куб має шість квадратних граней, що сходяться в кожній вершині по три.

ОКТАЕДР Октаедр – представник сімейства Платонових тіл, тобто правильних опуклих багатогранників. Октаедр має вісім трикутних граней, що сходяться в кожній вершині по чотири.

ДОДЕКАЕДР Додекаедр – представник сімейства Платонових тел. Додекаедр має дванадцять п'ятикутних граней, що сходяться у вершинах по три. Цей многогранник чудовий своїми трьома зірчастими формами.

ІКОСАЕДР Ікосаедр – представник Платонових тіл. Поверхня ікосаедра складається з двадцяти рівносторонніх трикутників, що сходяться в кожній вершині по п'ять. Ікосаедр має одну зірчасту форму.

Кількість ребер Кількість вершин Кількість граней Вид грані Тетраедр644 Куб1286 Октаедр1268 Додекаедр Ікосаедр301220

Леонард Ейлер (1707 – 1783 рр.) німецький математик і фізик Формула Ейлера (для правильних багатогранників): Г + В – Р = 2

ФОРМУЛИ ДЛЯ ПРАВИЛЬНИХ БАГАТОГРАННИКІВ ОБ'ЄМ ПЛОЩА ПОВЕРХНІ ТетраедрV= (a³2)/12S= a²3 КубV= a³S= 6a² ОктаедрV= (a³2)/3S= 2a²3 ДодекаедрV= a³(15+75)/4S= 3a²5(5+25) ІкосаедрV= 5a³(3+5)/12S= 5a²3

ТІЛА ПУАНСО-КЕПЛЕРА - зірчасті многогранники (правильні неопуклі многогранники). ВЕЛИКИЙ ІКОСАЕДР МАЛИЙ ЗІРЧАСТИЙ ДОДЕКАЕДР ВЕЛИКИЙ ДОДЕКАЕДР ВЕЛИКИЙ ЗІРЧАСТИЙ ДОДЕКАЕДР ТІЛА ПУАНСО

Французький математик Пуансо в 1810 році побудував чотири правильні зірчасті многогранники: малий зірчастий додекаедр, великий зірчастий додекаедр, великий додекаедр і великий ікосаедр. Два з них знав І. Кеплер (1571 – 1630 рр.). У 1812 році французький математик О. Коши довів, що окрім п'яти "Платонових тіл" і чотирьох "тіл Пуансо" більше немає правильних багатогранників.

Іоганн Кеплер (1571 – 1630 рр.) Німецький астроном. У 1619 році описав два зірчасті багатогранники: великий зірчастий додекаедр і малий зірчастий додекаедр Займався теорією напівправильних опуклих багатогранників

ВЕЛИКИЙ ІКОСАЕДР Грані великого ікосаедра - пересічні трикутники. Вершини великого ікосаедра співпадають з вершинами описаного ікосаедра. Великий ікосаедр був уперше описаний Луї Пуансо в 1809 р.

МАЛИЙ ЗІРЧАСТИЙ ДОДЕКАЕДР Грані малого зірчастого додекаедра - пентаграми, як і у великого зірчастого додекаедра. У кожної вершини з'єднуються п'ять граней. Вершини малого зірчастого додекаедра співпадають з вершинами описаного ікосаедра. Малий зірчастий додекаедр був уперше описаний Кеплером в 1619 р.

ВЕЛИКИЙ ДОДЕКАЕДР Грані великого додекаедра - пересічні п'ятикутники. Вершини великого додекаедра співпадають з вершинами описаного ікосаедра. Великий додекаедр був уперше описаний Луї Пуансо в 1809 р.

ВЕЛИКИЙ ЗІРЧАСТИЙ ДОДЕКАЕДР Грані великого зірчастого додекаедра - пентаграмы, як і у малого зірчастого додекаедра. У кожної вершини з'єднуються три грані. Вершини великого зірчастого додекаедра співпадають з вершинами описаного додекаедра. Великий зірчастий додекаедр був уперше описаний Кеплером в 1619 р.

Архімед близько рр. до нашої ери Старогрецький учений. Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих многогранників приписується Архімеду, що уперше перерахувало їх в роботі, що не дійшла до нас. Посилання на цю роботу є в працях математика Паппа.

ТІЛА АРХІМЕДА - напівправильних однорідні опуклі многогранники Архімедівськими тілами називаються опуклі многогранники, усі багатогранні кути яких рівні, а грані - правильні багатокутники декількох типів (цим вони відрізняються від платоновых тіл). Безліч архімедівських тіл можна розбити на п'ять груп.

Використання форми правильних багатогранників ПРИРОДАЛЮДИНА ВІРУСИАРХІТЕКТУРА УПАКОВКИ ПОБУТОВІ ПРЕДМЕТИ КРИСТАЛИ ГОЛОВОЛОМКИ БДЖОЛИНІ СТІЛЬНИКИ ОРІГАМІЖИВОПИС

Кристали білого фосфору утворені молекулами Р 4. Така молекула має вигляд тетраедра. Фосфорнуватиста кислота Н 3 РО 2

Молекули дзеркальних ізомерів молочної кислоти.

Будова молекули метану.

Будова грат алмазу.

Кристали куховарської солі.

Вірус поліомієліту має форму додекаедра.

ФЕОДАРІЯ ( Circjgjnia icosahtdra )

Правильні багатогранники зустрічаються і в живій природі. Наприклад, скелет одноклітинного організму феодарии ( Circjgjnia icosahtdra ) за формою нагадує ікосаедр. Ікосаедр має найбільший об'єм при найменшій площі поверхні. Ця властивість допомагає морському організму долати тиск водної товщі. Цікаво, що саме ікосаедр виявився в центрі уваги біологів в їх спорах відносно форми вірусів. Для визначення їх форми, брали різні многогранники, направляли їх на світло під тими ж кутами, що і потік атомів на вірус. Виявилось, що тільки один многогранник дає таку саму тінь - ікосаедр.

Використання багатогранників в архітектурі Велика піраміда в Гизе.

Багатогранники в живопису В епоху Відродження великий інтерес до форм правильних багатогранників виявили скульптори, архітектори, художники. Леонардо да Вінчі ( ) наприклад, захоплювався теорією багатогранників і часто зображував їх на своїх полотнах. Він проілюстрував правильними і напівправильними многогранниками книгу Ченця Луки Пачоли ''Про божественну пропорцію''.

Зображення Леонардо да Вінчі додекаедра методом жорстких ребер (а) і методом суцільних граней (б) в книзі Л. Пачоли "Божественна пропорція"

Зображення Леонардо да Вінчі усіченого ікосаедра методом жорстких ребер в книзі Л. Пачоли "Божественна пропорція ".

Художнє зображення багатогранників в розробленій Леонардо техніці жорстких ребер Титульний аркуш книги Ж. Кузена "Книга про перспективу". Надгробний пам'ятник в кафедральному соборі Солсбері

Полотно, на якому написана "Таємна вечеря" Сальвадора Далі має форму золотого прямокутника. Золоті прямокутники менших розмірів використані художником при розміщенні фігур дванадцяти апостолів. У центрі картини розташований додекаедр.

Відомий художник, Альбрехт Дюрер ( ), що захоплювався геометрією, у гравюрі ''Меланхолія '' на передньому плані зображував додекаедр.

Роботи Фра Джовани да Верона, створені для церкви Santa Maria in Organo у Вероне.

Голландський художник Мориц Корнилис Эшер створив унікальні і чарівні роботи, в яких використаний або показаний широкий круг математичних ідей. Ось дві з його робіт: "Порядок і хаос" і "Зірки ".

Орігамі. Орігамі - захоплююче заняття не лише для дітей, але і для підлітків і навіть дорослих! У руках кожного папір оживає: махає крилами журавель, дрібоче, спускаючись з гірки, людина. Скільки радості, скільки захвату! Ні з чим незрівняне почуття задоволення від виконаного своїми руками виробу. Така іграшка мила серцю, з нею розмовляють, її дбайливо зберігають! Стрибаючі жаби, надувні кульки, коробочки для всіляких дрібниць, витончено складені серветки для святкового столу - світ орігамі нескінченний!!! Папір - благодатний матеріал. Її легко згинати, різати, скручувати, можна підфарбувати, а якщо підмочити - виникне паперова скульптура. Метод мокрого складання дається не відразу, спочатку треба потренуватися на простіших фігурках. Однією з моделей орігамі є кусудама. Кусудама - це яскравий многогранник, в якому японці зберігають сухі цілющі трави. Його зазвичай підвішують у ліжка хворого.