Геометрическая прогрессия

Закончился двадцатый век. Куда стремится человек? Изучен космос и моря, Строенье звёзд и вся земля. Но математиков зовёт Известный лозунг: «Прогрессия-движение вперёд».

Прогрессии в древности Прогрессии как частные виды последовательностей встречаются в древних египетских папирусах и в клинописных табличках вавилонян. Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства, строительство, размежевание земельных наделов.

Задача из древности Задача о зёрнах на шахматной доске Когда создатель шахмат (по одним данным древнеиндийский математик, по другим легендарный дравид велалар по имени Сесса или Сисса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы (по другой версии риса), за второе два, за третье четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно. Правитель, чтобы взять реванш над пытавшимся его обхитрить изобретателем, велел последнему пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что он честно с ним расплатился.

Другие версии задачи По другой версии, двое торговцев заключили соглашение о том, что в течение месяца первый будет давать второму по долларов в день. Второй же должен возвращать первому в первый день один цент, во второй два и т. д. Второй торговец согласился и первые три недели радовался доходам, но в конце месяца был полностью разорён, отдав всё своё состояние первому. Перельман приводит версию, согласно которой первый человек отдает не по , а по в день (в русских денежных единицах), но результат от этого значительно не меняется. Еще в одной версии человек покупает коня, но недоволен ценой в 1000 рублей. Продавец ему предлагает платить не за коня, а за подковные гвозди, полушка за первый, две за второй, копейка за третий и так далее. Поскольку в каждой подкове по 6 гвоздей, покупатель вынужден заплатить более рублей.

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, если для всех натуральных n выполняется равенство где q - некоторое число.

q – знаменатель геометрической прогрессии

По определению геометрической прогрессии: Формула n-го члена

Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Свойство геометрической прогрессии:

Пример 1.

Доказать, что последовательность заданная формулой, является геометрической прогрессией Доказательство. Пример 2.

Т.к. частное не зависит от n значит последовательность является геометрической прогрессией.

Пример 3.

Формула суммы n первых членов.

Задана геометрическая прогрессия 2,6,18,... Найти десятый член прогрессии и сумму её двенадцати первых членов.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3, … Решение b1= 12, b2= 4, q = 4/12 = 1/3 S = 12 / (1 - 1/3) = 12 / (2/3) = 12 · 3 / 2 = 18 Ответ 18.

Работу выполнили ученицы 9«а» класса МКОУ «СОШ 1 р.п.Дергачи» Рубец Людмила Буслаева Юлия Костенко Юлия Арюкова Татьяна Коротенкова Екатерина