Законы логики Булевы алгебры Стильный шаблон для бизнес- презентации В 1847 Джордж Буль Коркского университета В 1847 году английский математик Джордж Буль, преподаватель Коркского университета, разработал алгебру логики. «алгебра высказываний» Почти 100 лет эта «алгебра высказываний» не была известна широкому кругу пользователей. в 1938 году Клод Шеннон Лишь в 1938 году выдающийся американский математики и инженер Клод Шеннон обнаружил, что алгебра логики применима к любым переменным, которые могут принимать только 2 значения. Например, к состоянию контактов: включено-выключено или напряжению (или току): есть-нет, которыми представляется информация в ПК. В результате алгебра логики явилась математической основой теории электрических и электронных переключательных схем, используемых в ЭВМ, поэтому ее предпочитают называть алгеброй логики не алгеброй логики, Булевой алгеброй а Булевой алгеброй по имени ее создателя.

Переместительный (коммутативный) закон 1. для логического сложения: A + B = B + A A + B = B + A 2. для логического умножения: 2. для логического умножения: A&B = B&A A&B = B&A Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

Сочетательный (ассоциативный) закон 3. ассоциативность сложения: (A + B) + C = A + (B + C) (A + B) + C = A + (B + C) 4. ассоциативность умножения: 4. ассоциативность умножения: (A & B) &C = A& (B & C) (A & B) &C = A& (B & C) При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать. При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

Распределительный (дистрибутивный) закон 5. дистрибутивность умножения относительно сложения A&( B + C) = A&B+ A&C A&( B + C) = A&B+ A&C 6. дистрибутивность сложения относительно умножения: 6. дистрибутивность сложения относительно умножения: A+ B &C = (A+B) &(А+C) A+ B &C = (A+B) &(А+C) Определяет правило выноса общего высказывания за скобку. Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

Закон идемпотентности 7. идемпотентность сложения A+А = A A+А = A 8. идемпотентность умножения: 8. идемпотентность умножения: A & А = A A & А = A Закон означает отсутствие показателей степени. Закон означает отсутствие показателей степени.

Законы исключения констант Законы исключения констант 9. истина или А равносильно истине (тавтология тавтологии) 1+А = 1 1+А = истина и А равносильно истине (тавтология тавтологии) 1 & А = A 1 & А = A 11. противоречие или А равносильно А 11. противоречие или А равносильно А0+А=А 12. противоречие и А есть противоречие 0 & А = 0 Суждения, истинность которых постоянная и не зависит от истинности входящих в них простых суждений, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями. Суждения, истинность которых постоянная и не зависит от истинности входящих в них простых суждений, а определяется только их структурой, называются тождественными или тавтологиями.

13. Закон отрицания отрицания (двойное отрицание 13. Закон отрицания отрицания (двойное отрицание ) А = А 14. Закон противоречия (закон непротиворечивости): А и не А всегда ложно А & А = 0 А & А = Закон исключения третьего А или не А всегда истинно А + А = 1 А + А = 1 Законы логики Законы логики 13. Двойное отрицание исключает отрицание. 13. Двойное отрицание исключает отрицание. 14. Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными. = _ _

Законы (правила) поглощения 16. для логического сложения: A + B & B = A или A + (A & B) = A (A & B) + B = A + B 17. для логического умножения: 17. для логического умножения: A & ( B+ B) = A или A & (A+ B) = A (A+B) & B = A & B

Законы (правила) де Моргана 18. для логического сложения: A + B = A & B или A + B = A& B или A + B = A& B 19. для логического умножения: 19. для логического умножения: A & B = A + B или A & B = A+ B или A & B = A+ B ____ ________ _____ ________ 20. для импликации: 20. для импликации: (A B) = A + B 21. для эквиваленции: 21. для эквиваленции: ( A B) = ((A & B)+ ( A& B)

Законы логики Решение задач Овладев основными свойствами суждений, можно упрощать формулы логики суждений уже формально, подобно тому, как в алгебре выполняются тождественные преобразования. Овладев основными свойствами суждений, можно упрощать формулы логики суждений уже формально, подобно тому, как в алгебре выполняются тождественные преобразования. Не будут использованы Будут использованы Знаки логического сложения Знаки отрицания и логического умножения Знаки логического умножения Знаки отрицания и логического сложения Упростить суждение: A & ( ( B+ С) + B&C) + A = по 19 по 19 =A & (B&C + B&C) + A= по 15 по 15 = + A = A + A = 1 = A & 1 + A = A + A = 1 по 10 по 15 по 10 по 15 ____

Законы логики Решение задач Кто из учеников А, В, С и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее: Кто из учеников А, В, С и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее: а) если А или В играет, то С не играет; а) если А или В играет, то С не играет; б) если В не играет, то играют С и D; б) если В не играет, то играют С и D; в) С играет в) С играет Решение. Определим следующие простые высказывания: А «ученик А играет в шахматы»; В «ученик В играет в шахматы»; С «ученик С играет в шахматы»; D «ученик D играет в шахматы». Запишем высказывания: а) (A v В) С; б) В С & D; в) С. Запишем произведение указанных сложных высказываний: ((A v В) С) & ( В С & D) & С. Упростим эту формулу: ((A v В) С) & (В С & D) & С = ((А v В) v С) & (В v С & D) & С = (А & В) v С) & (В v С & D) & C = A & B & C & D =1. Отсюда А = 0, В = 1, С = 1, D = 1. Ответ: в шахматы играют ученики В,С и D, а ученик А не играет.

Законы логики Решение задач Кто из учеников А, В, С и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее: Кто из учеников А, В, С и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее: а) если А или В играет, то С не играет; а) если А или В играет, то С не играет; б) если В не играет, то играют С и D; б) если В не играет, то играют С и D; в) С играет в) С играет Решение. Определим следующие простые высказывания: А «ученик А играет в шахматы»; В «ученик В играет в шахматы»; С «ученик С играет в шахматы»; D «ученик D играет в шахматы». Запишем высказывания: а) (A v В) С; б) В С & D; в) С. Запишем произведение указанных сложных высказываний: ((A v В) С) & (В С & D) & С. Упростим эту формулу: ((A v В) С) & (В С & D) & С = ((А v В) v С) & (В v С & D) & С = (А & В) v С) & (В v С & D) & C = A & B & C & D =1. Отсюда А = 0, В = 1, С = 1, D = 1. Ответ: в шахматы играют ученики В,С и D, а ученик А не играет.