Угол между прямыми в пространстве Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC. Ответ: 90 o. Куб 1

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и CD. Ответ: 90 o. Куб 2

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и B 1 C 1. Ответ: 90 o. Куб 3

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и C 1 D 1. Ответ: 90 o. Куб 4

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1. Ответ: 45 o. Куб 5

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AA 1 и CD 1. Ответ: 45 o. Куб 6

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BC 1. Куб 7 Решение. Через точку A проведем прямую AD 1, параллельную BC 1. Искомый угол равен углу B 1 AD 1. Треугольник B 1 AD 1 – равносторонний. Следовательно, искомый угол равен 60 о. Ответ: 60 о.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и DA 1. Ответ: 60 o. Куб 8

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и A 1 C 1. Ответ: 60 o. Куб 9

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и CD 1. Ответ: 90 o. Куб 10

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AC и BD 1. Ответ. 90 о. Куб 11

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AB 1 и BD 1. Ответ. 90 о. Куб 12

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми DA 1 и BD 1. Ответ. 90 о. Куб 13

В единичном кубе A…D 1 найдите косинус угла между прямыми AE и BE 1, где E и E 1 – середины ребер соответственно BC и B 1 C 1. Куб 14 Решение. Через точку A проведем прямую AF 1, параллельную BE 1. Искомый угол равен углу EAF 1. В треугольнике AEF 1 AE = AF 1 =, EF 1 =. По теореме косинусов находим Ответ.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямыми AE и BF 1, где E и F 1 – середины ребер соответственно BC и C 1 D 1. Куб 15 Решение. Из точки F 1 опустим перпендикуляр F 1 F на прямую CD. Прямая AE перпендикулярна BF, следовательно, она перпендикулярна BF 1. Ответ. 90 о.

В правильном тетраэдре ABCD точки E и F – середины ребер BC и CD. Найдите угол между прямыми AD и EF. Ответ: 60 o. Пирамида 1

В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра AB. Найдите косинус угла между прямыми AD и CE. Решение. Через точку E проведем прямую EF, параллельную AD. Искомым углом будет угол CEF. В треугольнике CEF имеем EF =, CE = CF = Следовательно, Ответ: Пирамида 2

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и SC. Ответ: 60 o. Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC. Найдите угол между прямыми AD и BE. Ответ: 30 о. Решение. Искомый угол равен углу CBE. Он равен 30 о. Пирамида 4

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол между прямыми SA и BC. Ответ: 60 о. Решение: Искомый угол равен углу SAD. Треугольник SAD – равносторонний, следовательно, = 60 о. Пирамида 5

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус угла между прямыми SA и DE. Ответ: Пирамида 6

В правильном тетраэдре ABCD точки E, F, G – середины ребер AB, BD, CD. Найдите угол EFG. Решение. Прямые EF и FG параллельны прямым AD и BC, которые перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен 90 о. Ответ: 90 о. Пирамида 7

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точка E – середина ребра SC. Найдите тангенс угла между прямыми SA и BE. Ответ: Решение. Через точку E проведем прямую, параллельную SA. Она пересечет основание в точке O. Искомый угол равен углу OEB. В прямоугольном треугольнике OEB имеем: OB =, OE =. Следовательно, Пирамида 8

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, F – середины ребер SB и SC. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF. Пирамида 9 Ответ: Решение. Обозначим G середину ребра AD. Прямая GF параллельна AE. Искомый угол равен углу BFG. В треугольнике BFG имеем: BF = GF =, BG =. По теореме косинусов находим

В правильной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SA и BF. Пирамида 10 Ответ: 90 о.

В правильной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, точка G – середина ребра SB. Найдите косинус угла между прямыми SA и BF. Пирамида 11 Ответ: Решение. Обозначим H середину отрезка AC. Прямая GH параллельна SA. Искомый угол равен углу BGH. В треугольнике BGH имеем: BH= 0,5, GH = 1, BG =. По теореме косинусов находим

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC. Ответ: 90 o. Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1. Ответ: 45 o. Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и A 1 C 1. Ответ: 60 o. Призма 3

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB и A 1 C. Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 C. В треугольнике B 1 A 1 C проведем высоту CD 1. В прямоугольном треугольнике A 1 CD 1 катет A 1 D 1 равен 0,5; гипотенуза A 1 C равна. Следовательно, Призма 4

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и B 1 C 1. Ответ: 90 o. Призма 5

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BC 1. Ответ: 45 o. Призма 6

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и DE 1. Ответ: 45 o. Призма 7

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и DE 1. Ответ: 90 o. Призма 8

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и B 1 C 1. Ответ: 60 o. Призма 9

В правильной 6-й призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB и C 1 D 1. Ответ: 60 o. Призма 10

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1. Решение: Достроим призму до 4-х угольной призмы. Проведем AD 1 параллельно BC 1. Искомый угол будет равен равен углу B 1 AD 1. В треугольнике AB 1 D 1 Используя теорему косинусов, находим Призма 11

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, точки D, E – середины ребер A 1 B 1 и B 1 C 1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BE. Призма 12 Решение. Обозначим F середину отрезка AC. Прямая EF параллельна AD. Искомый угол равен углу BEF. В треугольнике BGH имеем: По теореме косинусов находим Ответ.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA 1 и BD 1. Призма 13 Решение: Искомый угол равен углу B 1 BD 1. В прямоугольном треугольнике B 1 BD 1 B 1 D 1 = ; B 1 B =1; BD 1 =2. Следовательно, искомый угол равен 60 о. Ответ. 60 о.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямыми AA 1 и BE 1. Призма 14 Решение: Искомый угол равен углу B 1 BE 1. В прямоугольном треугольнике B 1 BE 1 катет B 1 E 1 равен 2; катет B 1 B равен 1. Следовательно, Ответ. 2.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AС 1 и BE. Призма 15 Ответ. 90 о.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AD 1 и BF. Призма 16 Ответ. 90 о.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1. Призма 17 Ответ. 90 о.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми BA 1 и FC 1. Призма 18 Ответ. Решение: Через середину O отрезка FC 1 проведем прямую PP 1, параллельную BA 1. Искомый угол равен углу POC 1. В треугольнике POC 1 имеем: PO = ; OC 1 = PC 1 =. Следовательно,

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1. Решение: Пусть O 1 –центр правильного 6-ка A 1 …F 1. Тогда AO 1 параллельна BC 1, и искомый угол равен углу B 1 AO 1. В равно- бедренном треугольнике B 1 AO 1 O 1 B 1 =1; AB 1 =AO 1 = Применяя теорему косинусов, получим Призма 19

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1. Решение: Искомый угол равен углу B 1 AE 1. В треугольнике B 1 AE 1 AB 1 = ; B 1 E 1 = AE 1 = 2. Следовательно, Призма 20

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BF 1. Решение: Пусть O, O 1 – центры оснований призмы. На оси призмы отложим O 1 O 2 = OO 1. Тогда F 1 O 2 будет параллельна AB 1, и искомый угол будет равен углу BF 1 O 2. В треугольнике BF 1 O 2 BO 2 = BF 1 = 2; F 1 O 2 = По теореме косинусов, имеем Призма 21

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и CD 1. Решение: Искомый угол равен углу CD 1 E. В треугольнике CD 1 E CD 1 = ED 1 = ; CE = По теореме косинусов, имеем Призма 22

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и CE 1. Решение: Заметим, что CE 1 параллельна BF 1. Следовательно, искомый угол равен углу между AB 1 и BF 1, который был найден ранее. А именно, Призма 23

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и CF 1. Решение: Пусть O, O 1 – центры оснований призмы. На оси призмы отложим O 1 O 2 = OO 1. Тогда F 1 O 2 будет параллельна AB 1, и искомый угол будет равен углу CF 1 O 2. В треугольнике CF 1 O 2 CO 2 = CF 1 = F 1 O 2 = Тогда Призма 24

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и CA 1. Решение: На продолжении BB 1 отложим B 1 B 2 = BB 1. Тогда A 1 B 2 будет параллельна AB 1, и искомый угол будет равен углу CA 1 B 2. В треугольнике CA 1 B 2 CA 1 = 2; CB 2 = A 1 B 2 = Тогда Призма 25

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и DF 1. Решение: Заметим, что DF 1 параллельна CA 1. Следовательно, искомый угол равен углу между AB 1 и CA 1, который был найден ранее. А именно, Призма 26

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и DA 1. Решение: На продолжении BB 1 отложим B 1 B 2 = BB 1. Тогда A 1 B 2 будет параллельна AB 1, и искомый угол будет равен углу DA 1 B 2. В треугольнике DA 1 B 2 DA 1 = DB 2 = A 1 B 2 = Следовательно, искомый угол равен 90 o. Призма 27

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и DC 1. Решение: Пусть O – центр основания призмы. Отрезки OC 1 и OB 1 будут равны и параллельны отрезкам AB 1 и DC 1, соответствен- но. Искомый угол будет равен углу B 1 OC 1. В треугольнике B 1 OC 1 OB 1 = OC 1 = ; B 1 C 1 = 1. Тогда, по теореме косинусов Призма 28

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AC 1 и BD 1. Решение: Заметим, что AE 1 параллельна BD 1. Следовательно, искомый угол равен углу C 1 AE 1. В треугольнике C 1 AE 1 AC 1 = AE 1 = 2; C 1 E 1 = По теореме косинусов, имеем Призма 29

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AC 1 и BE 1. Решение: Заметим, что отрезок GG 1, проходящий через середины ребер AF и C 1 D 1, параллелен и равен отрезку AC 1. Искомый угол равен углу G 1 OE 1. В треугольнике G 1 OE 1 OG 1 = 1; OE 1 = ; G 1 E 1 =. По теореме косинусов, имеем Призма 30

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость. Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью ABC. Ответ: 90 o. Куб 1

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью AB 1 C 1. Ответ: 45 o. Куб 2

В кубе A…D 1 найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью BC 1 D. Ответ: Куб 3

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью ABC. Ответ: 45 o. Куб 4

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью BCC 1. Ответ: 45 o. Куб 5

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью ABC 1. Ответ: 30 o. Куб 6

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью BB 1 D 1. Ответ: 30 o. Куб 7

В кубе A…D 1 найдите синус угла между прямой AC 1 и плоскостью BCC 1. Ответ: Куб 8

В кубе A…D 1 найдите синус угла между прямой AC 1 и плоскостью BB 1 D 1. Ответ: Куб 9

В кубе A…D 1 найдите угол между прямой AC 1 и плоскостью BA 1 D. Ответ: 90 o. Куб 10

В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра CD. Найдите угол между прямой AD и плоскостью ABE. Ответ: 30 о. Пирамида 1

В правильном тетраэдре ABCD найдите косинус угла между прямой AD и плоскостью ABC. Ответ: Решение. Пусть E – середина ребра BC. Искомый угол равен углу DAE. В треугольнике DAE имеем: AD = 1, AE = DE = Используя теорему косинусов, получим Пирамида 2

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью ABC. Ответ: 45 о. Решение: Искомый угол равен углу SAC. В треугольнике SAC имеем: SA = SC = 1, AC = Следовательно, искомый угол равен 45 о. Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью SBD. Ответ: 45 о. Решение: Искомый угол равен углу SOA, где O – середина BD. В прямоугольном треугольнике SOA имеем: SA = 1, AO = Следовательно, искомый угол равен 45 о. Пирамида 4

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD. Ответ: Решение. Пусть E, F – середины ребер AD и BC. Искомый угол равен углу SEF. В треугольнике SEF имеем: EF = 1, SE = SF = Используя теорему косинусов, получим Пирамида 5

В правильной 6-ой пирамиде SA…F, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол между прямой SA и плоскостью ABC. Ответ: 60 о. Решение. Искомый угол равен углу SAD. Треугольник SAD равносторонний. Следовательно, = 60 о. Пирамида 6

В правильной 6-ой пирамиде SA…F, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, точка G – середина ребра SB. Найдите угол между прямой AG и плоскостью ABC. Пирамида 7 Ответ: 45 о. Решение. Искомый угол равен углу GAH. Треугольник SAD прямоугольный равнобедренный. Следовательно, угол равен 45 о.

В правильной 6-ой пирамиде SA…F, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAF. Пирамида 8 Решение. Пусть O – центр основания, G – середина AF. Искомый угол равен углу между прямой FO и плоскостью SAF. Опустим из точки O перпендикуляр OH на плоскость SAF. Тогда равен углу OFH. В треугольнике SOG имеем: OG =, SO =, SG =. Следовательно, OH =. Ответ: В треугольнике OFH OH =, OF = 1. Следовательно,

В правильной 6-ой пирамиде SA…F, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус угла между прямой BC и плоскостью SAF. Ответ: Решение. Пусть O – центр основания, G – середина AF. Искомый угол равен углу между прямой AO и плоскостью SAF. Опустим из точки O перпендикуляр OH на плоскость SAF. Тогда равен углу OAH. Из решения предыдущей задачи имеем: OH =. В треугольнике OFH OF = 1, OH =. Следовательно, Пирамида 9

В правильной 6-ой пирамиде SA…F, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите угол между прямой AC и плоскостью SAF. Ответ: Пирамида 10

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью ABC 1. Ответ: Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью AB 1 C 1. Ответ: Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB и плоскостью BB 1 C 1. Ответ: 60 o. Призма 3

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB и плоскостью A 1 BC 1. Решение: Искомый угол равен углу B 1 A 1 O, где O – основание перпендикуляра, опущенного из точки B 1 на плоскость A 1 BC 1. Из прямоугольного треугольника BB 1 D находим Следовательно, Призма 4

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью BB 1 C 1. Решение: Искомый угол равен углу B 1 AD, где D – середина ребра BC. Следовательно, Призма 5

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью и ABC 1. Решение: Достроим треугольную призму до четырехугольной. BEE 1 B 1 – сечение, перпендикулярное CD. B 1 O перпендикулярен BE 1. Искомый угол равен углу B 1 AO. Из прямоугольного треугольника BB 1 E 1 находим Следовательно, Призма 6

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью ABC. Ответ: 90 о. Призма 7

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью ABC. Ответ: 45 о. Призма 8

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AC 1 и плоскостью ABC. Решение: Искомый угол φ равен углу C 1 AC. Ответ: 30 о. В прямоугольном треугольнике ACC 1 CC 1 = 1, AC 1 = 2. Следовательно, φ = 30 о. Призма 9

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой AD 1 и плоскостью ABC. Ответ: В прямоугольном треугольнике ADD 1 имеем: DD 1 = 1, AD = 2. Следовательно, Решение: Искомый угол φ равен углу D 1 AD. Призма 10

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью ABD 1. Решение: Искомый угол φ равен углу A 1 AE 1. В прямоугольном треугольнике A 1 AE 1 имеем: AA 1 =1; A 1 E 1 =. Следовательно, φ = 60 о. Ответ: 60 о. Призма 11

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью ABD 1. Решение: Из точки B 1 опустим перпендикуляр B 1 H на прямую BD 1. Искомый угол φ равен углу B 1 AH. В прямоугольном треугольнике BB 1 D 1 имеем: BB 1 =1; B 1 D 1 =, BD 1 = 2. Следовательно, угол BD 1 B 1 равен 30 о и, значит, B 1 H = В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем: AB 1 =, B 1 H =. Ответ: Следовательно, Призма 12

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью ABC 1. Ответ: В прямоугольном треугольнике A 1 AO имеем: AA 1 =1; A 1 O =. Следовательно, Решение: Искомый угол φ равен углу A 1 AO, где O – основание перпендику- ляра, опущенного из точки A 1 на прямую C 1 F 1. Призма 13

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью ABС 1. Призма 14 Решение: Проведем прямые C 1 F 1, B 1 D 1 и обозначим G 1 их точку пересечения. Из точки B 1 опустим перпендикуляр B 1 H на прямую BG 1. Искомый угол φ равен углу B 1 AH. В прямоугольном треугольнике BB 1 G 1 имеем: BB 1 =1; B 1 G 1 =, BG 1 =. Из подобных треугольников BB 1 G 1 и B 1 HG 1 находим B 1 H = В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем B 1 H =, AB 1 =. Следовательно, Ответ:

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AA 1 и плоскостью ACD 1. Решение: Искомый угол φ равен углу A 1 AF 1. В прямоугольном треугольнике A 1 AF 1 имеем: AA 1 =1; A 1 F 1 = 1. Следовательно, φ = 45 о. Ответ: 45 о. Призма 15

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BC 1 и плоскостью BDE 1. Призма 16 Решение: Плоскость CFF 1 перпендикулярна плоскости BDE 1 и пересекает ее по прямой GG 1. Прямая GG 1 образует с прямой C 1 F 1 угол 45 о. Из вершины C 1 опустим перпендикуляр C 1 H на прямую GG 1. В прямоугольном треугольнике C 1 G 1 H имеем: C 1 G 1 =, C 1 G 1 H = 45 о. Следовательно, C 1 H =. Ответ: В прямоугольном треугольнике BC 1 H имеем: BC 1 = ; C 1 H =. Следовательно,

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс между прямой AA 1 и плоскостью ACE 1. Решение: Из точки E 1 опустим перпендикуляр E 1 G на прямую AC. Искомый угол φ равен углу EE 1 G. В прямоугольном треугольнике EE 1 G имеем: EE 1 =1; EG = Следовательно, Ответ: Призма 17

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью ACE 1. Призма 18 Решение: Плоскость BB 1 E 1 перпендикулярна плоскости ACE 1 и пересекает ее по прямой QE 1. В прямоугольном треугольнике QB 1 E 1 имеем: QB 1 =, B 1 E 1 = 2. Высота B 1 H этого треугольника равна Ответ: В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем: AB 1 =, B 1 H = Следовательно,

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямой AA 1 и плоскостью ADE 1. Решение: Из точки F 1 опустим перпендикуляр F 1 G на прямую AD. Искомый угол равен углу FF 1 G. В прямоугольном треугольнике FF 1 G имеем: FF 1 =1; FG = Следовательно, Ответ: Призма 19

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AB 1 и плоскостью ADE 1. Решение: Плоскость BB 1 F 1 перпендикулярна плоскости ADE 1 и пересекает ее по прямой QF 1. В прямоугольном треугольнике QB 1 F 1 имеем: QB 1 = 2, B 1 F 1 =. Высота B 1 H этого треугольника равна. Ответ: В прямоугольном треугольнике AB 1 H имеем: AB 1 =, B 1 H =, Следовательно, Призма 20

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой AC 1 и плоскостью ADE 1. Призма 21 Решение: Прямая B 1 С 1 параллельна плоскости ADE 1. Следовательно, расстояние от точки C 1 до плоскости ADE 1 равно расстоянию от точки B 1 до этой плоскости и равно. В прямоугольном треугольнике AС 1 H имеем: AС 1 = 2, C 1 H =. Ответ: Следовательно,

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ Двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованная двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного угла. Линейным углом двугранного угла называется угол, полученный в результате пересечения данного двугранного угла и какой- нибудь плоскости, перпендикулярной его ребру (рис. 2). Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1. Ответ: 90 o. Куб 1

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1. Ответ: 45 o. Куб 2

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1. Ответ: 90 o. Куб 3

В кубе A…D 1 найдите тангенс угла между плоскостями ABC и BC 1 D. Решение: Обозначим O середину BD. Искомым линейным углом будет угол COC 1. В прямоугольном треугольнике COC 1 имеем CC 1 = 1; CO = Следовательно, Куб 4

В кубе A…D 1 найдите тангенс угла между плоскостями ABC и AB 1 D 1. Решение: Плоскость AB 1 D 1 параллельна плоскости BC 1 D. Из предыдущей задачи следует, что Куб 5

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1. Ответ: 90 o. Куб 6

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D 1 и BA 1 D. Ответ: 90 o. Решение: Заметим, что плоскость равностороннего треугольника BDA 1 перпендикулярна диагонали AC 1, которая проходит через центр этого треугольника. Следовательно, данные плоскости перпендикулярны. Искомый угол равен 90 o. Куб 7

В кубе A…D 1 найдите угол между плоскостями ABC 1 и BB 1 D 1. Решение: Заметим, что плоскость равностороннего треугольника ACB 1 перпендикулярна диагонали BD 1, которая проходит через центр O этого треугольника. Искомым линейным углом будет угол B 1 OE, который равен 60 o. Ответ: 60 o. Куб 8

В кубе A…D 1 найдите косинус угла между плоскостями BC 1 D и BA 1 D. Решение: Пусть O – середина BD. Искомый угол равен углу A 1 OC 1. Имеем Используя теорему косинусов, получим Ответ: Куб 9

В кубе A…D 1 точка E – середина ребра BB 1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEC 1 и ABC. Куб 10 Решение: Искомый угол равен углу CAC 1. Его тангенс равен Ответ:

В правильном тетраэдре ABCD найдите косинус угла между плоскостями ABC и BCD. Пирамида 1 Ответ: Решение: Пусть E – середина BC. Искомым линейным углом является угол AED. В треугольнике AED имеем: AD = 1, AE = DE = По теореме косинусов находим

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями SBC и ABC. Ответ: Решение: Пусть E, F – середины ребер BC и AD, O – центр основания. Искомым линейным углом является угол SEF. В прямоугольном треугольнике SEO имеем EO =, SE = Следовательно, Пирамида 2

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями SAB и SBC. Ответ: Решение: Пусть E – середина ребра SB. Искомым линейным углом является угол AEC. В треугольнике AEC имеем: AC =, AE = CE = По теореме косинусов находим Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями SAD и SBC. Ответ: Решение: Пусть E, F – середины ребер AD, BC. Искомым линейным углом является угол ESF. В треугольнике ESF имеем: EF = 1, SE = SF = По теореме косинусов находим Пирамида 4

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус угла между плоскостями ABC и SBC. Ответ: Решение: Пусть O – центр основания, G – середин ребра BC. Искомым линейным углом является угол SGO. В прямоугольном треугольнике SGO имеем: OG =, SG = Следовательно, Пирамида 5

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями SAB и SBC. Ответ: Решение: В треугольниках SAB и SBC опустим высоты AH и CH на сторону SB. Искомым линейным углом является угол AHC. В прямоугольном треугольнике AHC имеем: AC =, AH = CH = По теореме косинусов находим Пирамида 6

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями SAB и SBC. Ответ: Решение: Продолжим ребра AB и DC до пересечения в точке G. В треугольниках SAG и SDG опустим высоты AH и DH на сторону SG. Искомым линейным углом является угол AHD. В треугольнике AHD имеем: AD = 2, AH = DH = По теореме косинусов находим Пирамида 7

В правильной 6-ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями SAB и SDE. Ответ: Решение: Пусть G, H – середины ребер AB, DE. Искомым линейным углом является угол GSH. В треугольнике GSH имеем: GH =, SG = SH = По теореме косинусов находим Пирамида 8

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 найдите угол между плоскостями ABC и BB 1 C 1. Ответ: 90 o. Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BCC 1. Ответ: 60 o. Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и A 1 B 1 C. Решение: Обозначим O, O 1 - середины ребер AB и A 1 B 1. Искомым линейным углом будет угол OCO 1. В прямоугольном треугольнике OCO 1 имеем OO 1 = 1; OC = Следовательно, Призма 3

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и ACB 1. Решение: Обозначим O - середину ребра AC. Искомым линейным углом будет угол BOB 1. В прямоугольном треугольнике BOB 1 имеем BB 1 = 1; BO = Следовательно, Призма 4

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ACB 1 и A 1 C 1 B. Решение: Данные плоскости пересекаются по прямой DE. Обозначим G середину DE и F середину AC. Угол BGF будет искомым. В треугольнике BGF имеем BF = ; BG = FG = По теореме косинусов, имеем Призма 5

В правильной 6-й призме A…F 1 найдите угол между плоскостями ABC и ABB 1. Ответ: 90 о. Призма 6

Найдите двугранный угол, образованный соседними боковыми гранями правильной 6-й призмы A…F 1. Ответ: 120 о. Призма 7

В правильной 6-й призме A…F 1 найдите угол между плоскостями ABB 1 и CDD 1. Ответ: 60 о. Призма 8

В правильной 6-й призме A…F 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и CDD 1. Ответ: 90 о. Призма 9

В правильной 6-й призме A…F 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и DEE 1. Ответ: 30 о. Призма 10

В правильной 6-й призме A…F 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и CEE 1. Ответ: 60 о. Призма 11

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и BCD 1. Призма 12 Ответ: В прямоугольном треугольнике O 1 GO имеем: OO 1 = 1, OG =. Следовательно, Решение: Искомый угол равен углу O 1 GO, где O, O 1 – центры оснований призмы, G – середина BC.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BCE 1. Призма 13 Ответ:. В прямоугольном треугольнике E 1 CE имеем: EE 1 = 1, CE =, CE 1 = 2. Следовательно,. Решение: Искомый угол равен углу E 1 CE.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями ABC и BDE 1. Призма 14 Ответ:. Решение: Искомый угол равен углу E 1 DE. Он равен 45 о.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и BDF 1. Призма 15 Ответ: Решение: Искомый угол равен углу F 1 GF, где G – середина BD. В прямоугольном треугольнике F 1 GF имеем: FF 1 = 1, FG = Следовательно,

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и ADE 1. Призма 16 Ответ: Решение: Искомый угол равен углу E 1 GE, где G – середина CE. В прямоугольном треугольнике E 1 GG имеем: EE 1 = 1, EG = Следовательно,

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями CDE 1 и AFE 1. Призма 17 Ответ: Решение: Пусть O, O 1 – центры оснований призмы, P, Q – середины ребер AF и CD. Искомый угол равен углу PO 1 Q. В треугольнике PO 1 Q имеем: PO 1 = QO 1 =, PQ = Из теоремы косинусов получаем

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями CDF 1 и AFD 1. Призма 18 Ответ: Решение: Пусть O – центр призмы, G, G 1 – середины ребер CD и C 1 D 1. Искомый угол равен углу GOG 1. В треугольнике GOG 1 имеем: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следовательно, = 60 о.

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями BCD 1 и AFE 1. Призма 19 Ответ: Решение: Пусть O, O 1 – центры боковой грани и верхнего основания призмы. Искомый угол равен углу A 1 GB 1, где G – середина OO 1. В треугольнике A 1 GB 1 имеем: A 1 B 1 = 1, A 1 G = B 1 G = Из теоремы косинусов получаем

В правильной 6-й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями BCC 1 и AFE 1. Призма 20 Решение: Продолжим отрезки CB и FA до пересечения в точке G. Прямая B 1 G будет линией пересечения данных плоскостей.Из точки A опустим перпендикуляры AO и AH соответственно на прямые B 1 G и BG. Угол AOH будет искомым линейным углом. По теореме косинусов находим