Тела вращения. Геометрия, 11 класс. Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск x y 0 x=a x=b y = f ( x )

Цилиндр. H – высота силиндра R – радиус основания L – образующая силиндра H R L Осевое сечение – прямоугольник Элементы силиндра: Сечение силиндра плоскостью, параллельной оси - прямоугольник Ось вращения Сечение силиндра плоскостью, перпендикулярной оси - круг

Формулы для вычисления площади поверхности и объема силиндра: R H x x [0;H] H 0 x S бок. =2 RH S осн. = R 2 S полн. =2S осн. +S бок. =2 R 2 +2 RH x H 0 x V сил. = R 2 H

Конус. H – высота конуса R – радиус основания L – образующая конуса H R L Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник r Сечением конуса плоскостью, перпендикулярной высоте (параллельной основанию) является круг. r – радиус сечения. Элементы конуса: Ось вращения R

Формулы для вычисления площади поверхности и объема конуса: R R L 2 R L S бок. =S сектора =0,5·2 R ·L= R L S осн. = R 2 S пов. =S бок. +S осн. = R L+ R 2 = R (L+ R )

Усеченный конус. H – высота усеченного конуса R и r – радиусы оснований L – образующая усеченного конуса R L Осевое сечение – равнобокая трапеция H r S бок. = ( R + r )L S полн. = ( R + r )L+ R 2 + r 2

Шар. O O – центр шара Сечение шара, проходящее через центр – круг, радиуса R R R – радиус шара F Сечение шара плоскостью, находящейся на расстоянии h от центра - круг h r - касательная плоскость

Сфера. O Сечение сферы, проходящее через центр – окружность радиуса R O – центр сферы R R – радиус сферы F Сечение сферы плоскостью, находящейся на расстоянии h от центра - окружность h r - касательная плоскость S сферы =4 R 2

Шаровой(сферический) слой (пояс). h – высота слоя(пояса) r 1 и r 2 – радиусы оснований слоя(пояса) h r1r1 r2r2 S бок. =2 Rh S полн. =2 Rh+ r r 2 2

Шаровой(сферический) сегмент. h – высота сегмента r – радиус основания сегмента h r h r S бок. =2 Rh

Шаровой сектор. h – высота сектора r – радиус основания сектора h r

Шаровой сектор = шаровой сегмент конус