Геометрия комплексных чисел. Подготовили: Двалашвили Т. Беззубова А. Абатуров О. Аседулов Т. Гатиятов И.

Две оси и комплексная плоскость. Действительные числа удобно представлять в виде точек на числовой оси. Надо лишь выбрать начало координат, положительное направление и единицу измерения, и тогда любому числу будет соответствовать единственная точка числовой оси, и наоборот: каждой точке- действительное число. Точно так же, точками на числовой оси, можно изобразить и чисто мнимые числа bj: точке с координатой b, а умножить b на j легко и в уме. Так что числовая ось вполне пригодна для представления и действительных, и мнимых чисел. Но только не одновременно! Значит, чтобы одновременно изображать действительные и мнимые числа, нужно взять сразу две оси. Назовем их соответственно действительной осью и мнимой осью и расположим перпендикулярно друг-другу так, чтобы они пересеклись в нулевой точке. Для определенности выберем положительное направление действительной оси вправо, мнимой - вверх. Единица измерения по обеим осям одна и та же.

Итак, в нашей геометрической интерпретации мнимые числа «расположены перпендикулярно действительным. Ну а комплексные? Они «размещаются» по всей плоскости, в которой лежат числовые оси. Допустим, проекция точки на действительную ось имеет координату a, на мнимую ось- координату b.Будем считать эту точку изображением комплексного числа a+bj. Теперь можно смело утверждать, что каждой точке плоскости соответствует одно вполне определенное комплексное число. Верно и обратное: каждому числу соответствует одна точка плоскости и комплексными числами существует взаимно однозначное соответствие.

Комплексное число как вектор. Соединим начало координат и точку, изображающую комплексное число a+bj, направленным отрезком – вектором, как показано на. Что это дает? Оказывается очень многое. Прежде всего, теперь наглядно представить операции сложения и вычитания комплексных чисел. Изобразим комплексные числа и В виде двух векторов. Затем построим на них параллелограмм. Вектор, соединяющий начало координат с четвертой вершиной параллелограмма, в точности соответствует комплексному числу равному сумме +

А чтобы представить разность двух комплексных чисел, достаточно заменить второй вектор противоположно направленным. Или иначе: вектор, идущий от к, надо перенести в начало координат

Далее, число 0 – нуль-вектор, а комплексно-сопряженные числа – векторы, симметричные относительно действительной оси. Наконец, можно вычислить длину вектора, соответствующего комплексному числу z=a+bj. Воспользуемся для этого теоремой Пифагора. Из рисунка понятно, что длина вектора есть длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами a и b поэтому она равна, а это модуль комплексного числа z

Длина вектора, соответствующему комплексному числу z, равна его модулю Применим этот результат к геометрической интерпретации сложения комплексных чисел. Поскольку любая сторона треугольника не превосходит суммы двух других, следовательно, т.е. Модуль суммы комплексных чисел не превосходит суммы их модулей.

Аргумент комплексного числа. Как известно, вектор определяется не только длиной, но и направлением. Чтобы его задать можно использовать угол между положительным направлением действительной оси и направлением вектора. Но этого не достаточно. Возьмем два сопряженных комплексных числа z=a+bj и =a-bj.На плоскости они изображаются векторами, симметричными относительно действительной оси, причем углы между ними и действительной осью равны.

Получается, что зная величину угла, мы все еще не в состоянии выбрать одно из двух подходящих направлений. Во избежание этой неопределенности вводят понятие направления измерения угла и как следствие – отрицательные углы. Если при измерении угла мы движемся от положительного направления числовой оси против часовой стрелки, значение угла будем считать положительным, а если по часовой – то отрицательным. В таком случай для числа z угол положителен, а для - отрицателен. Этот угол называют аргументом комплексного числа и обозначают так: Обычно он измеряется не в градусах а в радианах.

Но осталась одна другая неоднозначность: одному и тому же направлению вектора соответствует вовсе не единственный аргумент. Предположим, при отчете угла против часовой стрелки аргумент равен Но что мешает отсчитывать угол против часовой стрелки. Тогда совершив почти полный оборот ( ), получим Т.е. каждому комплексному числу соответствует единственный модуль, но бесконечное значение аргументов.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Возьмем произвольное комплексное число z=a+bj и изобразим его в виде вектора на комплексной плоскости. Пусть N- проекция точки М на действительную ось. В прямоугольном треугольнике ОMN длины катетов ON и NM равны соответственно a и b, а длина гипотенузы ОМ равна

Из тригонометрии известно, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу прилежащего угла и синусу противолежащего.Следовательно, a= Re cos b= Im cos Где - аргумент комплексного числа z Таким образом, (cos +j sin ) - при умножении на комплексное число (cos +j sin ) вектор соответствующий множимому, нужно растянуть в рази повернуть на угол -при делении вектор, соответствующий делимому, надо сжать в рази повернуть на угол