НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. 8 КЛАСС

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА Определение. Если натуральное число имеет только два натуральных делителя – само себя и 1, – то его называют простым числом; если оно имеет более двух делителей, то его называют составным числом. Число 1, имеющее лишь один делитель 1, не относят ни к простым, ни к составным.

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. Пример 1. Для а = 37, b = 15 такая пара чисел: q = 2, r = 7, - при этом остаток r меньше делителя b. 37 = 15 · Теорема. Если натуральное число а больше натурального числа b и а не делится на b, то существует, и только одна, пара натуральных чисел q и r, причем r < b, такая, что выполняется равенство a = bq + r Пример 2. Составить формулу: а) четного числа; б) нечетного числа; в) натурального числа, которое при делении на 3 дает в остатке 2. Ответ: а) Четное число n – это число, которое делится на 2. n = 2k. б) нечетное число n – это число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, значит, n = 2k +1 или n = 2k – 1.

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. a = b · q + r Решение. Пуcть n = 3k + 2. Предположим, что это число является точным квадратом, т. е. существует такое натуральное число а, что n = a². Для самого числа есть три возможности: а делится на 3, т. е. имеет вид а = 3 к; а при делении на 3 дает в остатке 1, т. е. имеет вид а = 3 к + 1; а при делении на 3 дает в остатке 2, т. е. имеет вид а = 3 к +2. Если а = 3 к, то n = (3 к)² = 9 к². Число делится на 3. Если а = 3 к + 1, то n = (3 к + 1)² = 9 к² + 6 к + 1 = 3 (3 к² + 2 к) + 1. Это число при делении на 3 дает в остатке 1 (противоречие). Если а = 3 к +2, то n = (3 к + 2)² = 9 к² +12 к +4 = 3 (3 к² + 4 к +1) При делении на 3 дает в остатке 1 (противоречие) Пример 3. Доказать, что если натуральное число при делении на 3 дает в остатке 2, то оно не может быть точным квадратом.

НОД и НОК нескольких натуральных чисел. Определение. Два натуральных числа а и с называют взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей, отличных от 1. Иными словами, НОД (а; с) = 1. Делители числа 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Делители числа 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. Числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 называют общими делителями чисел 72 и 96, а наибольшее из них называют наибольшим общим делителем (НОД) чисел 72 и 96. НОД (72; 96) = 24 Утверждение: Если даны натуральные числа а и р, причем р – это простое число, то либо а делится на р, либо а и р – взаимно простые числа.

НОД и НОК нескольких натуральных чисел. Выпишем кратные числа 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … кратные числа 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, … 36, 72, 108, 144, … называют общими кратными чисел 12 и 18, а наименьшее из них называют наименьшим общим кратным (НОК) чисел 12 и 18. НОК (12; 18) = 36. СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ Свойство 11. Свойство 12. Свойство 13. Свойство 14. Свойство 15. Свойство 16.

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Число 1 Только один делитель Д(1) = Простые Только два делителя Д(13) = Составные Более двух делителей Таблица простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Д(6) = Разложение составного числа на простые множители 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Наибольший общий делитель НОД(48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12.

Наименьшее общее кратное НОК (75;60) = 75 · 2 · 2 = 60 · 5 = 300 Взаимно простые числа НОД (13; 5) = 1 НОК (13; 5) = 13 · 5 = 65 Одно из чисел делится на другое число НОД (16; 32) = 16 НОК (14; 28) = 28

Рациональные числа (Q) Целые, (Z)(Z)Дробные, натуральные (N) противоположные натуральным нуль положи- тельные отрицательные 5– 50 Рациональные числа – это числа, которые можно записать в виде отношения, где a - целое число, n – натуральное число. n – натуральное числоm - целое число – знак включения.– знак принадлежности; r – рациональное число N – часть множества Z; Z – часть множества Q

Рациональные числа – это числа, которые можно записать в виде отношения, где a - целое число, n – натуральное число. Рациональные числа – это множество бесконечных десятичных дробей. Целое число 5 = 5, Для всех рациональных чисел можно использовать один и тот же способ записи. Обыкновенная дробь Десятичная дробь 8,377 = 8, … = 0,31818… = 0,3(18) 18 – период; 0,3(18) – бесконечная десятичная дробь = 5,(0) = 8,377(0)