ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ 8 КЛАСС

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА: 2 Для того чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 2. 5 Для того чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа делилась на 5 (т. е. цифра единиц либо 0, либо 5). 10 Для того чтобы натуральное число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра числа была 0.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА: 4 Для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее трех цифр, делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 4 число, образованное двамя последними цифрами числа p. 25 Для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее трех цифр, делилось на 25, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двамя последними цифрами числа p. 8 Для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 8 число, образованное тремя последними цифрами числа p. 125 Для того чтобы натуральное число p, содержащее не менее четырех цифр, делилось на 125, необходимо и достаточно, чтобы делилось на 125 число, образованное тремя последними цифрами числа p.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ НА: 3 Для того чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3. 9 Для того чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на Для того чтобы натуральное число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма его цифр, взятых со знаком «плюс», если цифры находятся на нечетных местах (начиная с цифры единиц), и взятых со знаком «минус», если цифры находятся на четных местах, делилась на (13) Для того чтобы натуральное число делилось на 7 (на 13), необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма чисел, образующих грани по три цифры в грани (начиная с цифры единиц), взятых со знаком «плюс» для нечетных граней и со знаком «минус» для четных граней, делилась на 7 (на 13).

ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 3. Для того чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Доказательство : Пусть в числе р пять цифр Тогда Сумма четырех слагаемых в первых скобках Делится на 3, по свойства 8. Значит, по свойствам 2 и 3, должна делиться на 3 сумма во вторых скобках.

СВОЙСТВА ОТНОШЕНИЙ ДЕЛИМОСТИ Св – во 1. Св – во 2. Св – во 3. Св – во 4. Св – во 5. Св – во 6. Св – во 7. Св – во 8. Св – во 9. Среди n последовательных натуральных чисел одно, и только одно делится на n.

ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА Определение. Если натуральное число имеет только два натуральных делителя – само себя и 1, – то его называют простым числом; если оно имеет более двах делителей, то его называют составным числом. Число 1, имеющее лишь один делитель 1, не относят ни к простым, ни к составным. Св – во 10. Любое натуральное число а > 1 имеет хотя бы один простой делитель. Теорема 1. Множество простых чисел бесконечно. Док – во: Предположим противное, что множество простых чисел конечно. Тогда можно выписать все простые числа: Составим число а следующим образом:. По св – ва 10, у числа а есть хотя бы один простой множитель, т.е. число а делится на одно из чисел Но 1 не делится ни на одно из этих чисел, значит, по св – ва 3 число а не делится ни на одно из этих чисел. Получили противоречие, поэтому сделанное предположение неверно, т. е. на самом деле множество простых чисел бесконечно.

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. Пример 1. Для а = 37, b = 15 такая пара чисел: q = 2, r = 7, - при этом остаток r меньше делителя b. 37 = 15 · Теорема. Если натуральное число а больше натурального числа b и а не делится на b, то существает, и только одна, пара натуральных чисел q и r, причем r < b, такая, что выполняется равенство a = bq + r Пример 2. Составить формулу: а) четного числа; б) нечетного числа; в) натурального числа, которое при делении на 3 дает в остатке 2. Ответ: а) Четное число n – это число, которое делится на 2. n = 2k. б) нечетное число n – это число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, значит, n = 2k +1 или n = 2k – 1.

ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. a = b · q + r Решение. Пуcть n = 3k + 2. Предположим, что это число является точным квадратом, т. е. существает такое натуральное число а, что n = a². Для самого числа есть три возможности: а делится на 3, т. е. имеет вид а = 3 к; а при делении на 3 дает в остатке 1, т. е. имеет вид а = 3 к + 1; а при делении на 3 дает в остатке 2, т. е. имеет вид а = 3 к +2. Если а = 3 к, то n = (3 к)² = 9 к². Число делится на 3. Если а = 3 к + 1, то n = (3 к + 1)² = 9 к² + 6 к + 1 = 3 (3 к² + 2 к) + 1. Это число при делении на 3 дает в остатке 1 (противоречие). Если а = 3 к +2, то n = (3 к + 2)² = 9 к² +12 к +4 = 3 (3 к² + 4 к +1) При делении на 3 дает в остатке 1 (противоречие) Пример 3. Доказать, что если натуральное число при делении на 3 дает в остатке 2, то оно не может быть точным квадратом.

НОД и НОК нескольких натуральных чисел. Определение. Два натуральных числа а и с называют взаимно простыми числами, если у них нет общих делителей, отличных от 1. Иными словами, НОД (а; с) = 1. Делители числа 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. Делители числа 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96. Числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 называют общими делителями чисел 72 и 96, а наибольшее из них называют наибольшим общим делителем (НОД) чисел 72 и 96. НОД (72; 96) = 24 Утверждение: Если даны натуральные числа а и р, причем р – это простое число, то либо а делится на р, либо а и р – взаимно простые числа.

НОД и НОК нескольких натуральных чисел. Выпишем кратные числа 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, … кратные числа 18: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, … 36, 72, 108, 144, … называют общими кратными чисел 12 и 18, а наименьшее из них называют наименьшим общим кратным (НОК) чисел 12 и 18. НОК (12; 18) = 36. СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ Свойство 11. Свойство 12. Свойство 13. Свойство 14. Свойство 15. Свойство 16.