Овчинцев Евгений ИФО 3-2 Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической физики.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
§20. Конформные отображения.. Определение обладающее свойствами сохранения углов и постоянства растяжений называется конформным отображением в точке z.
Advertisements

Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Дифференцирование функций комплексного переменного.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Теория функций комплексного переменного Тема: Дифференцирование функций комплексного переменного.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, содержащее производные от искомой функции или её дифференциалы. или.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка Лекция 5.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ-6. Дифференциальные уравнения высших порядков.
П.5. Связь аналитической ФКП и гармонической функции двух действительных переменных.
Кафедра математики и моделирования Старший преподаватель Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 9. Тема: Типы дифференциальных уравнений. Цель: Ознакомиться.
УМФ МОДУЛЬ 5 УЭ-5 Задача Гильберта для уравнений Коши-Римана в круге.
Дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка.
Производная функции Производные высших порядков Производные от функций, заданных параметрически Дифференциал функции Геометрический смысл дифференциала.
Уравнение вида называется ДУ первого порядка. Где х – независимая переменная; у– неизвестная функция; у – ее производная.
{ общие понятия - теорема Коши - линейный дифференциальный оператор - основные теоремы - линейная независимость решений - определитель Вронского - вронскиан.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка F(x, y, y)=0 - дифференциальное уравнение 1-го порядка y=f (x, y) – уравнение, разрешенное относительно производной.
3. Замена переменных в двойном интеграле Пусть (σ) – замкнутая квадрируемая область в плоскости xOy, f(x,y) – ограничена и непрерывна в области (σ) всюду,
Системы дифференциальных уравнений Общие понятия.
Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения. Основные понятия.. Дифференциальные уравнения. Задача о первообразной. Найти функцию такую, что Решение.
Как и в случае функции одной переменной, функция z=f(x,y) имеет узловые, определяющие график функции, точки. Определим точки экстремума для функции двух.
Def. f(z) называется дифференцируемой (или моногенной) в точке z 0 g, если при z 0 §4. Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие аналитической.
Транксрипт:

Овчинцев Евгений ИФО 3-2 Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической физики

Введение Функция называется гармонической, если : 1. Существуют частные производные до второго порядка включительно. 2. Все они непрерывны. 3. Она удовлетворяет уравнению Лапласа :

Методы функции комплексного переменного Если комплексная функция имеет первую производную в области G 1. Она бесконечное число раз дифференцируема. 2. Все эти производные непрерывны и

О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. - конформное отображение области G на область G. является взаимно однозначным отображением.

О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Пусть – некоторая гармоническая функция, заданная внутри области,,.

О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Тогда частные производные от функции : Следовательно, вторые частные производные от нее же :

О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Сложим : Получим : В силу условий Коши - Римана :

О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Из получившихся соотношений следует : Т. к. Т. е. – гармоническая функция в.

Задача Дирихле Найти функцию, удовлетворяющую условиям : где – заданная непрерывная функция на границе области.

Задача Дирихле Теорема : « Решение задачи Дирихле существует и притом единственно ».

Практическая задача Труба радиуса r помещена на заданной глубине. Найти установившееся распределение температуры в почве, если на поверхности земли она равна нулю, а температура трубы ( рис.1).

Практическая задача – температура земли в точке. – гармоническая функция. Для нее должно выполняется уравнение и она должна удовлетворять граничным условиям

Практическая задача Докажем, что область отображается на кольцо дробно - линейной функцией : 1. Известно, что дробно - линейная функция обладает круговым свойством. 2. Известно, что при дробно - линейном отображении точки симметричные переходят в точки, симметричные по отношению к образу кривой.

Практическая задача Отобразим область G конформно на круговое кольцо : ( рис.2) В кольце получили задачу Дирихле :

Практическая задача. Решение задачи Дирихле Такая функция - гармоническая. Для выполняются граничные условия : 1. 2.

Решение практической задачи Найдем на оси две точки ( рис.3) такие, что они являются симметричными и для оси и для окружности одновременно.

Решение практической задачи Рассмотрим дробно-линейное отображение : Подставим в него : Докажем, что эта функция отображает область на круговое кольцо :

Решение практической задачи – ось. Пусть. Тогда То есть, и, значит, образом оси является окружность.

Решение практической задачи Найдем образ окружности. Ее образом будет окружность с центром в точке. Таким образом область отображается на круговое кольцо. Найдем. Образом точки будет точка, лежащая на окружности. Следовательно :

Решение практической задачи Решение нашей основной задачи имеет вид : Перейдя к переменным и, получим : где

Рассмотрим конкретный пример Пусть a=2, h=4, а T=10. Тогда А график этой функции имеет вид :

Заключение 1. Методом конформных отображений можно решать и другие задачи, базирующиеся на гармонических функциях, переходя конформно к более простому и известному виду. 2. Этим методом можно решать задачи в картографии, электростатике, механике сплошных сред ( гидро - и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др. )