Определения Модуль числа а – расстояние от точки с координатой а до ноля следствия 1. модуль числа неотрицателен (|a|0) -а-а-а 0 |a|= a, если а>0 -a, если а<0 0, если а = 0

Способы решения уравнений с модулями: 1. По определению модуля По определению модуля 2. Замена переменной Замена переменной 3. Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства 4. Возведение обоих частей уравнения в квадрат Возведение обоих частей уравнения в квадрат 5. Замена совокупностью систем Замена совокупностью систем 6. Важный частный случай Важный частный случай

1. По определению модуля |ƒ (x)| = a (а 0) примеры Пример : |3x - 8| = 5 Решение: 3x - 8 = 5 3x - 8 = -5; 3x = 13, 3x = 3; x = 13/3, x = 1. Ответ: 13/3; 1. ƒ (x) = a ƒ (x) = -a

2. Возведение обеих частей в квадрат примеры Пример |x - 3| = |x + 2| Решение (x + 3) 2 = (x + 2) 2 * (x + 3) 2 - (x + 2) 2 = 0 (x x + 2)(x x - 2) = 0 2x - 1 = 0 x = 1/2 Ответ:0,5 * При возведении обоих частей в квадрат данного уравнения равносильность не нарушается, т.к. модуль всегда положительный, и |а| = a 22

3. Замена переменной Пример: x 2 - 7|x| - 8 = 0 Решение: t = |x| условие t 0 t - 7t - 8 = 0 t 1 + t 2 = 7 t 1 * t 2 = -8 t 1 = -1 не удовлетворяет условию t 2 = 8 |x| = 8 x 1 = 8 x 2 = -8 Ответ: 8;-8. примеры

4. Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства Универсальный способ примеры Решение: Найдем нули под модульных выражений: 0; X X x -1 -x-x-1=1 -1<x<0 -x+x+1=1 x0 x+x+1=1 x -1 x=-1 -1<x<0 0=0 x0 x=0 -1<x<0 x=0 x= -1 Ответ: [-1;0]. Пример: |x| + |x+1|=1

5. Замена совокупностью систем |ƒ(x)| =g(х) I способ II способ g(х) 0 ƒ(x) = g(х) g(х) 0 ƒ(x) = -g(х) ƒ(x) 0 ƒ(x) = g(х) ƒ(x) < 0 ƒ(x) = -g(х)

3x x + 7 = 3x +4 3x x + 7= -3x - 4 2x x + 7 = 3x + 4 2x x + 7 = -3x - 4 x -4/3 x = 3 x -4/3 x = -11/5 x -7/2 x = 3 x -7/2 x = -11/5 Ответ:3 примеры Пример: |2x + 7| = 3x + 4

6. Важный частный случай |f (x)| = -f(x), тогда f(x)0 Пример: 7-4x= |4x-7| Решение: т.к. |f (x)| = -f(x), то f(x)0 4x- 70 x 7/4 Ответ: (- ;7/4] 8

|2x - 3| = 5 |x - 4| = |x + 1| |2x - 3| = x + 1 |x| + x 3 = 0 x 2 - 3|x| + 2 = 0 |x - 5| + |x - 1| = x = |4x - 7| |2x - x 2 + 3| = 2 (x + 1) 2 = 2x - 1 По определению модуля. Замена совокупностью систем. Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства Замена переменной. Раскрытие модуля на промежутке знакопостоянства Замена совокупностью систем. Возведение обеих частей в квадрат. По определению модуля. Обучающая самостоятельная работа Ответы -1; 4 -15/6 2/3; -2 -1; 0; 1 Корней нет 1; 5 -7/4 1 -2/3; 0

конец

Вернуться назад |2x - 3| = 5 (5x - 1) 2 = 4 решение Следующий способ решения решение |x 2 - 4x| = 5 решение |11 – 2x 2 | = 3 решение

Вернуться назад Следующий способ решения |x - 4| = |x - 1| решение |x + 5| = |2x - 5| решение |x 2 – 5x| = |x 2 – x + 2| решение |x 2 + 5x - 11| = |2x - 1| решение

x 2 – 3|x| + 2 = 0 решение x 2 + 3|x| = 10 решение Вернуться назад Следующей способ решения

|5 - x| + |x - 1| = 10 решение |x - 1| + |2x - 3| = 2 решение |x - 3| + 2|x + 1| = 4 решение Вернуться назад Следующей способ решения

x x |5 - x| + |x - 1| = 10

x 2 + 3|x| - 10 = 0 t = |x|ОДЗ t 0 t 2 + 3t – 10 = 0 t 1 = -5 - не удовлетворяет ОДЗ t 2 = 2 x = 2 x = -2 Ответ: -2;2. Вернуться назад

(x 2 + 5x - 11) 2 = (2x - 1) 2 (x 2 + 7x - 12)(x 2 + 3x - 10) = 0 (x + 3)(x + 4)(x + 5)(x - 2) = 0 Ответ: -5; -4; -3; 2. Вернуться назад

|11 - 2x 2 | = x 2 = x 2 = -3 2x 2 = 8 2x 2 = 14 x = 2 x = -2 x = 7 x = - 7 Ответ: - 7; -2; 2; 7 Вернуться назад

x 2 + 3|x| - 10 = 0 t = |x|ОДЗ t 0 t 2 + 3t - 10 = 0 t 1 = -5 - не удовлетворяет ОДЗ t 2 = 2 x = 2 x = -2 Ответ: -2;2 Вернуться назад

x 2 - 3|x| + 2 = 0 t = |x|ОДЗ t 0 t 2 - 3t + 2 = 0 t 1 = 2 t 2 = 1 x = 2 x = -2 x = 1 x = -1 Ответ: -2;-1;1;2 Вернуться назад

|x 2 + 4x| = 5 x 2 + 4x = 5 x 2 + 4x = -5 x = -5 x = 1 x 2 + 4x + 5 = 0 Ответ: -5;1 x 2 + 4x + 5 = 0 D = D < 0 – уравнение не имеет корней. Вернуться назад

(x 2 - 5x) 2 = (x 2 - x + 4) 2 (2x 2 - 6x + 4)(-4x - 4) = 0 -8(x 2 - 3x + 2)(x + 1) = 0 -8(x - 2)(x - 1)(x + 1) = 0 Ответ: -1;1;2 Вернуться назад

(x + 5) 2 - (2x - 5) 2 = 0 (x x + 5)(x x - 5) = 0 3x(-x + 10) = 0 -3x(x - 10) = 0 Ответ: 0;10 Вернутся назад

2x - 3 = 5 2x - 3 = -5 2x = 8 2x = -2 x = 4 x = -1 Ответ: -1;4 Вернуться назад

|5x - 1| = 4 5x - 1 = 4 5x - 1 = -4 5x = 5 5x = -3 x =1 x =-3/5 Ответ: -3/5;1 Вернуться назад

(x - 4) 2 – (x - 1) 2 = 0 (x x - 1)(x x + 1) = 0 -3(2x - 5) = 0 2x - 5 = 0 x = -5/2 Ответ: -5/2