Тема 9. Рациональные неравенства

РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА I.Основные определения. Теоремы о равносильности. 1)Основные определения 2)Теоремы о равносильности II.Виды рациональных неравенств и методы их решения 1)Линейные 2)Квадратные 3)Степени 3 и выше (метод интервалов) 4)Дробные рациональные (метод интервалов) III.Применение метода интервалов для нерациональных неравенств

Основные определения Решение неравенства – значение переменной, обращающее его в верное неравенство Решить неравенство - найти множество всех его решений или доказать что их нет Два неравенства называются равносильными если множества их решений совпадают

Равносильность неравенств сохраняется, если: -к обеим неравенствам прибавить выражение φ(х), определенное всюду в ОДЗ неравенства -перенести слагаемое из одной части в другую -обе части неравенства умножить или разделить на φ(х), определенное всюду в ОДЗ исходного неравенства, положительное в ОДЗ исходного неравенства и оставить знак неравенства без изменений -обе части неравенства умножить или разделить на положительное число и оставить знак неравенства без изменений. -обе части неравенства умножить или разделить на φ(х), определенное всюду в ОДЗ исходного неравенства, отрицательное в ОДЗ исходного неравенства и изменить знак неравенства -обе части неравенства умножить или разделить на отрицательное число и изменить знак неравенства Если φ(х) меняет знак в ОДЗ, умножать, делить и отбрасывать знаменатель нельзя -возвести в одну и ту же натуральную степень неравенства с неотрицательными частями x+3 log 1/2 x >0 ОДЗ: x>0 x1 x+3>0 в ОДЗ, тогда log ½ x>0 y=log 1/2 t на R+ x<1 x>0 xє(0;1) Ответ: (0;1) log 2 (2x+4) log 4 (x-3) >0 ОДЗ: 2x+4>0 x>3, x4 x-3>0 log 2 (2x+4)>0 в ОДЗ, тогда log4(x-3)>0 y=log 4 t на R+ x-3>0 xє(4;+) x-3>1 Ответ:(4;+) log 3/4 (3x-7) log 0,2 6 0 т.к. log 0,2 <0, то log ¾ (3x-7)0 y=log 3/4 t на R+ 3x-7>0 xє(7/3;8/3] 3x-71 Ответ: (7/3;8/3]

|x 2 -3x+2|<|x 2 -2x-2| Обе части неотрицательны на R; возведение в квадрат не нарушает равносильности (x 2 -3x +2) 2 <(x 2 -2x-2) 2 (x 2 -3x+2+x 2 -2x-2)(x 2 -3x+2-x 2 +2x+2)<0 (2x 2 -5x)(-x+4)<0 x(2x-5)(4-x)<0 xє(0;5/2) (4;+) Ответ: (0;5/2) (4;+) 0 5/

II.Виды рациональных неравенств и методы их решения 1)Линейные а)3 х-6>0 x>2 Ответ:(2;+) в)0x<2 0<2 – верно Ответ: R б)-5x-10 -5x1 x-1/5 Ответ:(-;-1/5] г)0 х>8 x>8 – не верно Ответ:ø

2)Квадратные а)-x 2 +3x-20 xє(-;1]υ[2;+) Ответ: (-;1]υ[2;+) б)-2x 2 +3x-1>0 xє(0.5;1) Ответ:(0.5;1) II.Виды рациональных неравенств и методы их решения 1 2 _ + _ x 2 -3x+2=0 x 1 =2 x 2 = _ + _ 2x 2 -3x+1=0 D=(-3)2-42=1 x 1 =1 x 2 =0.5

2)Квадратные в)2x 2 -2x+30 xє(-;+) Ответ: (-;+) г)x 2 -2x+10 x=1x=1 Ответ:{1} II.Виды рациональных неравенств и методы их решения 2x 2 -2x+3x=0 D=(-2) =4-24=-20 D<0 x 1 x 2 -2x+1=0 x=1

Рациональные степени 3 и выше (метод интервалов) Правила постановки знака: 1)На крайнем правом промежутке знак совпадает со знаком старшего коэффициента. 2)При переходе через корень четной кратности знак сохраняется, нечетной - меняется.

а) x(9-x)(x+1)<0 xє(-1;0)υ(9;+) Ответ: (-1;0)υ(9;+) б)(x+3)(3x-2) 5 (7-x) 3 (5x+8) 2 <0 xє(-3;-8/5)υ(-8/5;2/3)υ(7;+) Ответ: (-3;-8/5)υ(-8/5;2/3)υ(7;+) Рациональные степени 3 и выше (метод интервалов) /5 2/

Дробные рациональные Алгоритм: 1)Ввести функцию 2)Область определения 3)Нули функции 4)Отметить нули на области определения 5)Поставить знак на интервалах 6)Выбрать промежутки в соответствии со знаком неравенства

x 2 -9 x 2 +5x+6 x 2 -9 x 2 +5x+6 (x-3)(x+3) (x+3)(x+2) D(y):x-3; x2 Нули функции: 3 xє(-;-3)υ(-3;-2)υ[3;+) Ответ: (-;-3)υ(-3;-2)υ[3;+) Дробные рациональные y= -3 – не принадлежит D(y)

1 x 1 x 1-x x D(y):x0 Нули функции: 1 xє(-;0)υ[1;+) Ответ: (-;0)υ[1;+) Дробные рациональные y= x

III.Применение метода интервалов для нерациональных неравенств (x-1) 6+x-x 2 0 y=(x-1) 6+x-x 2 D(y): 6+x-x 2 0 [-2;3] Нули функции: -2; 3; 1 xє[1;3]υ{-2} Ответ:[1;3]υ{-2} x 2 -x-6=0 x 1 =3 x 2 = Функция не определена