Логарифмические уравнения и неравенства

Решение уравнений 1)Используя определение 2)Потенцирование 3)Введение новой переменной 4)Логарифмирование 5)Использование формулы перехода к новому основанию 6)Частный случай Решение неравенств 1)Пример 1 и 2 2)Пример 3 3)Неравенство с переменной в основании логарифма

IV.Методы решения логарифмических уравнений В процессе перехода от логарифмического выражения к рациональному ОДЗ расширяется. Следовательно, логарифмическое уравнение может приобрести посторонние корни.

IV.Методы решения логарифмических уравнений Способы сохранения равносильности: 1. Проверка корней 2. Сравнение с ОДЗ 3. Составление равносильной системы

IV.Методы решения логарифмических уравнений 1)Используя определение log x-2 (x 2 -6x+10)=1 (x-2) 1 =x 2 -6x+10 x 2 -7x+12=0 x 1 =3; x 2 =4 Проверка: Если x=3, то x-2=1 – логарифм не определен Если х=4, то log *4+10=1 log 2 2=1 – верное Ответ:4

IV.Методы решения логарифмических уравнений 2)Потенцирование Переход от уравнения вида log a f(x)=log a φ(x) к уравнению вида f(x)= φ(x).Почти всегда равносильность нарушается, поэтому необходима проверка или составление равносильной системы. log 2 (x 2 -3)-log 2 (6x-10)+1=0 log 2 (x 2 -3)+log 2 2= log 2 (6x-10) log 2 2(x 2 -3)= log 2 (6x-10) 2(x 2 -3)=6x-10 x 2 -3>0 6x-10>0 x 2 -3x+2=0 x 2 -3>0 6x-10>0 x=1 x=2 x 2 -3>0 6x-10>0 x=2 Ответ:2 Отрицательный логарифм перенести в противоположную часть

IV.Методы решения логарифмических уравнений 3)Введение новой переменой log 3 2 x=4-3log 3 x y=log 3 x y 2 +3y-4=0 log 3 x=-4 x=3 -4 log 3 x=1 x=3 удовлетворяют ОДЗ Ответ: 3, 1/81 ОДЗ:x>0

IV.Методы решения логарифмических уравнений 4)Логарифмирование (если переменная в основании и показателе) Логарифмировать можно по любому основанию, не содержащему переменную. Если в уравнении встречается логарифм, то логарифмируют по тому же основанию. x log 2 x =16 log 2 x log 2 x =log 2 16 log 2 x*log 2 x=4 log 2 x=2 или log 2 x=-2 x=4 x=2 -2 удовлетворяют ОДЗ Ответ:4, 1/4 log 2 ОДЗ: х>0

IV.Методы решения логарифмических уравнений 5) Использование формулы перехода к новому основанию log 4 x+log x 2 2=1 1 log 4 x+ 4log 4 x =1 4log 4 2 x+1-4log 4 x=0 y=log 4 x 4y 2 -4y+1=0 y=1/2 log 4 x=1/2 x=2 – удовлетворяет ОДЗ Ответ:2 ОДЗ: x>0 x 2 >0 x21 x21 log log x 2 2= log 4 x 2 = 2*2log 4 x = 4log 4 x *4log 4 x0 в ОДЗ x>0, x1

V.Один важный частный случай 6 log 6 2 x + x log 6 x = 12 6 log 6 x*log 6 x + x log 6 x = 12 (6 log 6 x ) log 6 x +x log 6 x =12 x log 6 x =6 log 6 log 6 x log 6 x =log 6 6 log 6 x=1 или log 6 x=-1 x=6 x=1/6 удовлетворяют ОДЗ Ответ:6, 1/6 ОДЗ: x>0