Решение иррациональных неравенств Иррациональными называются неравенства, содержащие переменную только под знаком радикала Исходное неравенство заменяют равносильной системой или равносильной совокупностью систем Эти системы решают при наложении ограничений на переменную и возведении обеих частей в степень

Решение иррациональных неравенств f(x)<g(x) знак < Пример: 3x+130 x+1>0 3x+13<(x+1)² 3x+13<x+1 x>-1 x-13/3 x²-x-12>0 x>-1 x<-3 x>4 -34 Ответ: (4; +) f(x)0 – существование корня g(x)>0 – т.к. левая часть 0, то правая часть >0 f(x)<g²(x) – возведение в квадрат неравенства с неограниченными частями

Решение иррациональных неравенств f(x)>|g(x)| f(x)|g(x)|, т.к. |g(x)|0, то неравенство (*) равносильно f(x)>g²(x) В этом случае f(x)0, т.к. g²(x) – неотрицательного числа (*) Пример: x³+x²-4x-1|x-2| x³-5 0 x³+x²-4x-1x²-4x+4 x³ 5 Равносильно: Ответ: [³5;+)

Решение иррациональных неравенств f(x)>g(x) знак > или Пример: x²-1>x-3 x-30 x²-1>x²-6x+9 x-3<0 x²-10 или x3 x>5/3 или x<3 x-1 x1 x (-;-1]U[1;+ ) Ответ: (-;-1]U[1;+ ) g(x)0 f(x)>g²(x) g(x)<0 – левая часть 0, правая часть <0 f(x)0 – существование корня аналогично второму 13 x (-;-1]U[1;3) 13

Решение иррациональных неравенств Метод интервалов Пример: (x-1)6+x-x²0 D(y): 6+x-x²0 D(y)=[-2;3] Нули функции: -2, 1, Ф-я не определена Если неравенство нестрогое – особое внимание числам, обращающим выражение в 0 Ответ: [1;3]U{-2} y=(x-1)6+x-x²

Решение иррациональных неравенств 1-x -x1/5 x0 1-x 0 1-x>x (1-x -x)²1/5 1-x>x x0 x1 1-x-2x(1-x)+x1/5 0x1/2 x-x²-4/250 x<1/2 0x1 x(x-1)2/5 0x1/2 x1/5 x4/5 0x1/5 Ответ: [0;1/5]