Исследовательская работа. Неравенства и системы неравенств с параметром. Выполнила Веселова Елена Руководитель Самохина Н.В.

Цель работы. 1. Систематизировать обширные, но разобщенные знания о неравенствах и систем неравенств с параметром. 1. Систематизировать обширные, но разобщенные знания о неравенствах и систем неравенств с параметром. 2. Рассмотреть различные виды неравенств с параметром. 2. Рассмотреть различные виды неравенств с параметром. 3. Научиться решать неравенства и системы неравенств с параметром. 3. Научиться решать неравенства и системы неравенств с параметром. 4. Приобрести навыки в работе с научно-математической литературой. 4. Приобрести навыки в работе с научно-математической литературой.

Теоретическая часть. Основные понятия. Параметр – независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным, фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Параметр – независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным, фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить неравенство с параметром – значит указать, при каких значениях параметров существует общее значение и каково оно. Решить неравенство с параметром – значит указать, при каких значениях параметров существует общее значение и каково оно.

Практическая часть. 1).Решение линейных неравенств. 1).Решение линейных неравенств. 2).Решение систем линейных неравенств. 2).Решение систем линейных неравенств. 3).Решение квадратных неравенств. 3).Решение квадратных неравенств.

Линейные неравенства. Неравенства вида ах>b и ax b и ax<b (a0) называются линейными неравенствами. ax>b: если a>0, то если a<0, то если a<0, то ах 0, то если а<0, то если а<0, то

Линейные неравенства. Решить неравенство ах+4>2 х+. Решение. ах+4>2 х+ ; ax-2x> - 4; ax-2x> - 4; (а-2)х> - 4; (а-2)х> - 4; Рассмотрим три случая. 1. При а=2, неравенство 0 х >0 решений не имеет. 2. При а >2, (а- 2) х > (а – 2)(а + 2), a-2>0, тогда разделим обе части неравенства на (а-2), получим х > а При а (а – 2)(а + 2), где a-2 (а – 2)(а + 2), где a-2<0, тогда после деления на (а-2) обе части неравенства получим х<а+2. Ответ: при a>2, x>a+2; при a<2, x<a+2; при a<2, x<a+2; при a=2, решений нет. при a=2, решений нет.

Системы линейных неравенств. Рассмотрим системы неравенств с одной переменной. Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств. Рассмотрим системы неравенств с одной переменной. Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.

Системы неравенств. Решить систему неравенств: 1) 1. x<6 6 а x a x x<6 6 а x a x Пусть а 6. При а 6 система решений не имеет. 2. x<6 a x a 6 x x<6 a x a 6 x Пусть а<6. Система имеет решение а x<6, когда а<6. Ответ: данная система неравенств имеет решение а x<6 при а<6; при а 6 система решений не имеет.

Квадратные неравенства. (1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) (4) Мы знаем, что множество решений неравенства зависит от коэффициента и дискриминанта. Например рассмотрим решение неравенства вида Мы знаем, что множество решений неравенства зависит от коэффициента и дискриминанта. Например рассмотрим решение неравенства вида

Д>0 Д=0 Д<0 a>0 a>0, где, где a<0 a<0 Решений нет

Квадратные неравенства. Решить неравенство +2 ах+4 >0. 1).Введем квадратичную функцию у= -2 ах+4 – парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. первый коэффициент положительный. Данное неравенство будет иметь смысл тогда, когда Д<0. Д= - 4; -4<0,, -2<a<2. -4<0,, -2<a<2. Итак, при -2<a<2 неравенство справедливо при х R.

2). Пусть Д>0, тогда - 4>0,, Найдем корни +2 ах+4, приравняв +2 ах+4=0. Д= -4; =-а - =-а - =-а+ =-а+ Используя метод интервалов, выясняем, что +2 ах+4> а- -а+ х - а- -а+ х при х (- ;- а- ) (-а+ ; + ).

3). Если Д=0, то - 4=0, а= 2. При а=-2 имеем -4 х+4>0; >0 при х 2; >0 при х 2; При а=2 +4 х+4>0; >0 при х -2. Ответ: при, х R; при, х (- ;-а- ) (-а+ ;+ ); при а=-2, х 2; при а=-2, х 2; при а=2, х -2. при а=2, х -2.

Анализ исследовательских результатов. Прежде всего я научилась работать с научно- математическими материалами, и узнала много нового о способах решения неравенств с параметром, о свойствах самого параметра. И главное - я научилась решать разнообразные примеры, включающие в себя параметр. Прежде всего я научилась работать с научно- математическими материалами, и узнала много нового о способах решения неравенств с параметром, о свойствах самого параметра. И главное - я научилась решать разнообразные примеры, включающие в себя параметр. Работая над этим проектом, я систематизировала обширные, но разобщенные знания о неравенствах с параметром и их решением. По каждому разделом я подобрала целый набор упражнений. Эта работа имеет практическое значение: она поможет подготовиться к экзаменам не только в девятом, но и одиннадцатом классе. Кроме того, я могу поделиться приобретенным опытом решения неравенств со своими одноклассниками. Работая над этим проектом, я систематизировала обширные, но разобщенные знания о неравенствах с параметром и их решением. По каждому разделом я подобрала целый набор упражнений. Эта работа имеет практическое значение: она поможет подготовиться к экзаменам не только в девятом, но и одиннадцатом классе. Кроме того, я могу поделиться приобретенным опытом решения неравенств со своими одноклассниками.

Список литературы. Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев В.Г. О параметрах- с самого начала//Репетитор – Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев В.Г. О параметрах- с самого начала//Репетитор – Егерман Е. Задачи с параметром//Математика – ,2,3. Егерман Е. Задачи с параметром//Математика – ,2,3. Кочагин В. Уравнения и неравенства с параметром//Математика – ,28. Кочагин В. Уравнения и неравенства с параметром//Математика – ,28. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы – Москва МН – Локоть В.В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы – Москва МН – 2005.