МБОУ «СОШ 2» г.Саянска Автор: обучающийся 8В класса МБОУ «СОШ 2» г. Саянска Павельев Иван Научный руководитель: учитель математики МБОУ «СОШ 2» г. Саянска Колесникова Людмила Александровна 2014 г

1 Всё о квадратных уравнениях Всё о квадратных уравнениях…………………………2 Способ 1. Решение уравнения по формуле Способ 1. Решение уравнения по формуле…………..3 Способ 2. Решение уравнения с чётным коэффициентом ………………………………………..Способ 2. Решение уравнения с чётным коэффициентом ………………………………………..4 Способ 3. Решение уравнения по теореме Виета Способ 3. Решение уравнения по теореме Виета……5 Способ 4. По условию Способ 4. По условию ……………………..6 Способ 5. Выделением полного квадрата Способ 5. Выделением полного квадрата ……………7 Способ 6. Способ переброски старшего коэффициента коэффициента ………………………………………… 8 Способ 7. Разложение на множители способом группировки Способ 7. Разложение на множители способом группировки ……………………………………………9 Способ 8. Приведение к виду Способ 8. Приведение к виду …….10 Способ 9. Уменьшение степени уравнения………....11Способ 9. Уменьшение степени уравнения Способ 10. Графический способ Способ 10. Графический способ……………………..12 Способ 11. Решение при помощи циркуля и линейки Способ 11. Решение при помощи циркуля и линейки…………………………………………….13,14 Способ 12. Решение с помощью номограммы Способ 12. Решение с помощью номограммы…..15,16 Способ 13. Геометрический способ квадратных уравнений Способ 13. Геометрический способ квадратных уравнений………………………………………….17,18 Список литературы Список литературы ……………………………….19,20

2 Неполные квадратные уравнения

3 Пример. Решить уравнение

4

5 Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного трехчлена x 2 + px + q = 0 равна его второму коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q. Пример. Решить уравнение Франсуа Виет

6

7

8

9

10

11 Данный многочлен разложим на множители: Уравнение примет вид:

12 x y

нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). Тогда по теореме о секущих имеем OB OD = OA OC, откуда OC = OB OD/ OA= х 1 х 2 / 1 = c/a. 13

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6,а рис. ) В(х 1; 0) и D(х 2; 0), где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х 1; 0), где х 1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения. 14

z 2 + pz + q = 0. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11): Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.). Из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию: 15

Примеры. 1) Для уравнения z 2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (рис.12). 2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z 2 - 9z + 2 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 - 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5. 3) Для уравнения z z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t 2 - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откуда z 1 = 5t 1 = 3,0 и z 2 = 5t 2 = 22,0. 16

Пример. 1) Решим уравнение х х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15). Для искомой стороны х первоначального квадрата получим 17

у у - 16 = 0. Решение представлено на рис. 16, где у у = 16, или у у + 9 = Решение. Выражения у у + 9 и геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у у = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = - 8 (рис.16). 18

19 Список литературы 1. Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. «Элементарная математика» Москва 1976 г. Стр Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. «Просвещение» 1990 г. Стр. 109 и стр Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – м., просвещение, Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1972

8. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, 4/72. С Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. Для учащихся 7-9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, с. 10. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, Аверьянов Д.И., Алтынов П.И., Баврин И.И. идр. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, – 864 с. 12. Научно-теоретический методический журнал «Математика в школе», 6, 2008 г., стр Ресурсы Интернет /34259_1. html 20