Автор: Павельев Иван 1

Способ 1. Решение уравнения по формуле Способ 2. Решение уравнения с чётным коэффициентом Способ 3. Решение уравнения по теореме Виета Способ 4. По условию Способ 5. Выделением полного квадрата Способ 6. Способ переброски старшего коэффициента Способ 7. Разложение на множители способом группировки Способ 8. Приведение к виду Способ 9. Уменьшение степени уравнения Способ 10. Графический способ Способ 11. Решение при помощи циркуля и линейки Способ 12. Решение с помощью номограммы Способ 13. Геометрический способ квадратных уравнений Список литературы 2

3

4

5

6

7

8

9

10

Данный многочлен разложим на множители: Уравнение примет вид: 11

x y 12

нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5). Тогда по теореме о секущих имеем OB OD = OA OC, откуда OC = OB OD/ OA= х 1 х 2 / 1 = c/a. 13

1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6,а рис. ) В(х 1; 0) и D(х 2; 0), где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0. (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6,а рис. ) В(х 1; 0) и D(х 2; 0), где х 1 и х 2 - корни квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х 1; 0), где х 1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения. 14

z 2 + pz + q = 0. z 2 + pz + q = 0. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11): Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), Из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию 15

Примеры. Примеры. 1) Для уравнения z 2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0 (рис.12). 2) Решим с помощью номограммы уравнение 2z 2 - 9z + 2 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 - 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5. Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5. 3) Для уравнения z z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение получим уравнение t 2 - 5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и которое решаем посредством номограммы и получим t 1 = 0,6 и t 2 = 4,4, откуда z 1 = 5t 1 = 3,0 и z 2 = 5t 2 = 22,0. 16

Пример. Пример. 1) Решим уравнение х х = 39. В оригинале эта задача формулируется В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15). Для искомой стороны х первоначального квадрата получим 17

у у - 16 = 0. у у - 16 = 0. Решение представлено на рис. 16, где у у = 16, или где у у = 16, или у у + 9 = у у + 9 = Решение. Выражения у у + 9 и геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у у = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = - 8 (рис.16). 18

Список литературы 1. Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. «Элементарная математика» Москва 1976 г. Стр Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. «Просвещение» 1990 г. Стр. 109 и стр Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений / Г. В. Дорофеев и др. – М.: Дрофа, Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Справочные материалы: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, Глейзер Г. И. История математики в школе. – М.: просвещение, Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – м., просвещение, Окунев А. К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, 4/72. С

9. html 10. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. Для учащихся 7-9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, с. 11. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, Аверьянов Д.И., Алтынов П.И., Баврин И.И. идр. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы. – М.: Дрофа, – 864 с. 13. Научно-теоретический методический журнал «Математика в школе», 6, 2008 г., стр Список литературы 20