Основи алгоритмізації та програмування Тема 2. Системи числення (6 годин) Уроки 11-16

Зміст Поняття системи числення 11 Системи числення в ОТ 12 Математичні операції у різних СЧ 13 Алгоритми переводу чисел із однієї СЧ в іншу 14 Вправи з переводу чисел із однієї СЧ в іншу 15 Контрольна робота 2 16

Поняття системи числення (СЧ) Сукупність прийомів та правил найменування й позначення чисел називається системою числення. Найпростіша СЧ - УНАРНА, в якій використовується всього 1 символ (паличка, вузлик, карб, камінчик, тощо) 11

Класифікація систем числення Кількісне значення кожної цифри числа залежить від того, в якому місці (позиції або розряді) записана та або інша цифра. 0, Позиційні Непозиційні Системи числення Кількісне значення кожної цифри числа не залежить від того, в якому місці (позиції або розряді) записана та або інша цифра. XIX 11

Непозиційні системи числення Римська система числення 11

Непозиційні системи числення Алфавітна система числення Для запису чисел використовувався буквений алфавіт. У слов'янський системі над буквою, що позначає цифру, ставився спеціальний знак - «титло». Слов'янська система числення збереглася в богослужебних книгах. Алфавітна система числення була поширена у древніх вірмен, грузин, арабів, євреїв і інших народів Близького Сходу. 11

Недоліки непозиційної СЧ 1.Для запису великих чисел необхідно вводити нові цифри (букви). 2. Важко записувати великі числа. 3. Не можна записувати дробові і відємні числа. 4. Немає нуля. 5. Дуже складно виконувати арифметичні дії. 11

Позиційні СЧ – історія «Думка - виражати всі числа небагатьма знаками, надаючи їм значення формою, ще значення по місцю, настільки проста, що саме із-за цієї простоти важко оцінити, наскільки вона дивна» Пьер Симон Лапласс Перша позиційна система числення була придумана ще в Древньому Вавілоні, причому вавілонська нумерація була шестидесяткова, тобто в ній використовувалося шістдесят цифр! 11

Позиційні СЧ – історія Використовуватись десяткова система числення спочатку в Давньому Єгипті і Вавілоні. Її формування було завершено індійськими математиками в V-VII ст. н.е. Араби перші познайомилися з цією нумерацією і по гідності її оцінили. У XII столітті арабська нумерація чисел поширилася по всій Європі. 11

Позиційні СЧ - сучасність Зараз використовуються десяткова, двійкова, вісімкова, шістнадцяткова, тощо Наприклад, для запису чисел використовується десять цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). Таку систему називають десятковою системою числення. У числі 555 перша 5 стоїть у позиції сотень, друга 5 - у позиції десятків, третя 5 - у позиції одиниці (555= ). 11

Алфавіт і основа позиційної СЧ 11 Кількість різних символів, використовуваних для зображення числа в позиційних системах числення, називається основою системи числення. Позиції цифр називаються розрядами. Основа системи числення показує в скільки разів змінюється кількісне значення цифри при переміщенні її на сусідню позицію За основу системи можна прийняти будь-яке натуральне число не менше 2.

Запис чисел в позиційній СЧ Запис чисел в кожній з систем числення з основою q означає скорочений запис виразу a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + … + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + … + a -m q -m, де a i - цифри системи числення, n і m - число цілих і дробових розрядів відповідно Система числення ОсноваАлфавіт цифр Десяткова100, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двійкова20, 1 Вісімкова80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Шістнадцяткова160, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 11

Подання перших чисел у деяких СЧ q= q= q= q= q= q=6 11 У будь-якій системі числення натуральні числа, менші основи q, представляються за допомогою однієї цифри даної системи. Якщо число більше або рівне q, то потрібний дві і більш за цифри.

Позиційні СЧ - переваги 1.Обмежена кількість символів для запису чисел. 2. Простота виконання арифметичних операцій. 11

Завдання для закріплення Завдання 1. 1.Переведіть числа з римської системи числення в десяткову - LXXXVI. XLIX. CMXCIX. 2.Запишіть десяткові числа в римській системі числення - 464, 390, Де в даний час використовується римська система числення. Завдання 2. Запишіть в алфавітній системі числення - 365, 413. Завдання 3. Скільки і яких потрібний цифр для запису будь-якого числа в - п'ятірковій системі числення, у вісімковій системі числення, в шістнадцятковій системі числення. Завдання 4. Вкажіть які числа записані з помилками. Відповідь обґрунтуйте ; 3005,23 4 ; 185,794 8 ; ; 1345,52 6 ; 112,011 3 ; 16, Завдання 5. Як зміниться число 245 6, якщо справа до нього дописати нуль? 11

Завдання для закріплення Завдання 6. Заповніть таблицю для q=6 Завдання 7. Запишіть в розгорнутій формі числа: 7764,1 8 = 2430,43 5 = 3AF,15 16 = Завдання 8. Запишіть число в десятковій системі числення: =……, 423,15=……, 5А,12116=……. 11

Системи числення в ОТ Комп'ютери використовують двійкову систему оскільки: для її реалізації потрібні технічні пристрої з двома стійкими станами; подання інформації за допомогою лише двох станів надійне і перешкодостійке; можливе використання апарату булевої. алгебри для виконання логічних перетворень; двійкова арифметика набагато простіше десятковою. Двійкова система, зручна для комп'ютера, для людини незручна із-за її громіздкості і незвичного запису. Для того, щоб розуміти слово комп'ютера, розроблені вісімкова і шістнадцяткова системи числення. Числа в цих системах вимагають в 3/4 разу менше розрядів, чим в двійковій системі. 12

Відповідність систем числення Десяткова Двійкова Вісімкова Шістнадцяткова Десяткова Двійкова Вісімкова Шістнад- цяткова 89ABCDEF10

Завдання для закріплення Завдання 1. Продовжіть таблиці до 25 12

Подання чисел в комп'ютері Числа в комп'ютері можуть зберігатися в форматі з фіксованою комою - цілі числа і у форматі з плаваючою комою - речові числа. Цілі числа без знака займають у пам'яті один або два байти. Цілі числа зі знаком займають у пам'яті комп'ютера один, два або чотири байти, при цьому самий лівий (старший) розряд містить інформацію про знак числа. Застосовуються три форми запису (кодування) цілих чисел зі знаком: прямий код, зворотний код і додатковий код. Речові числа зберігаються і обробляються в комп'ютері у форматі з плаваючою комою. Цей формат базується на експоненційній формі запису, в якій може бути подано будь-яке число. 12

Подання цілих чисел в комп'ютері Цілі числа в комп'ютері можуть представлятися зі знаком або без знаку. Цілі числа без знака займають у пам'яті один або два байти. Формат числа в байтахЗапис з порядкомЗвичайний запис … 2 8 – 1 0 … 2 16 – 1 0 …255 0 … Приклад. Число = в однобайтовому форматі

Подання цілих чисел зі знаком в комп'ютері Цілі числа зі знаком займають у пам'яті комп'ютера один, два або чотири байти, при цьому самий лівий (старший) розряд містить інформацію про знак числа. Знак «плюс» кодується нулем, а "мінус" - одиницею 12 Формат числа в байтах Запис з порядкомЗвичайний запис … 2 7 – … 2 15 – … 2 31 – … … …

Подання додатних цілих чисел в комп'ютері У комп'ютерній техніці застосовуються три форми запису (кодування) цілих чисел зі знаком: прямий код, зворотний код і додатковий код. Додатні числа в прямому, зворотному і додаткових кодах зображуються однаково - двійковими кодами з цифрою 0 у знаковому розряді. 12 Приклад. Число = в однобайтовому форматі Знак числа

Подання відємних цілих чисел в комп'ютері – прямий код Відємні числа в прямому, зворотному і додатковому кодах мають різне подання. Прямий код. У знаковий розряд поміщається цифра 1, а в розряди цифрової частини числа - двійковий код його абсолютної величини. 12 Приклад. Число = в однобайтовому форматі Знак числа

Подання відємних цілих чисел в комп'ютері – зворотний код Для утворення зворотного коду відємного двійкового числа необхідно в знаковому розряді поставити 1, а в цифрових розрядах одиниці замінити нулями, а нулі - одиницями. 12 Приклад. Число = в однобайтовому форматі Знак числа

Подання відємних цілих чисел в комп'ютері – додатковий код Додатковий код відємного двійкового числа утворюється отриманням зворотного коду з наступним додаванням одиниці до його молодшого розряду. Відємні цілі числа при введенні в комп'ютер автоматично перетворюються у зворотний або додатковий код і в такому вигляді зберігаються, переміщуються і беруть участь в операціях. При виведенні таких чисел з комп'ютера відбувається зворотне перетворення у відємні цілі числа 12 Приклад. Число = в однобайтовому форматі Знак числа

Подання дійсних чисел в комп'ютері Будь-яке число N у системі числення з основою q можна записати у вигляді N = m q p, де М називається мантиссой числа, а р - порядком. Такий спосіб запису чисел називається поданням числа з плаваючою точкою. Мантиса повинна бути правильним дробом, перша цифра якого відмінна від нуля. Дане подання дійсних чисел називається нормалізованим. Мантиссу і порядок числа з основою q записують в системі числення з основою q, а саму основу - в десятковій системі. 12

Формати дійсних чисел 12 Формат числа Діапазон абсолютних значень Розмір в байтах одинарний дійсний подвійний розширений … … … …

Формат подання дійсних чисел 12 …… знак числа знак порядка порядокмантисса При зберіганні числа з плаваючою точкою відводяться розряди для мантиси, порядку, знака числа і знака порядку.

Приклад подання додатних дійсних чисел 12 Число 6,25 10 записати в нормалізованому вигляді в чотирьохбайтовому форматі з сьома розрядами для запису порядка 6,25 10 = 110,01 2 = 0, …… знак числа знак порядка порядок мантисса

Приклад подання відємних дійсних чисел 12 …… знак числа знак порядка порядок мантисса Число -0, записати в нормалізованому вигляді в чотирьохбайтовому форматі з сьома розрядами для запису порядка -0, = -0,001 2 = 0, (відємний порядок записано в додатковому коді)

Арифметичні операції в позиційних системах числення Правила виконання основних арифметичних операцій в будь-якій позиційній системі числення підкоряються тим же законам, що і в десятковій системі. При додаванні цифри підсумовуються за розрядами, і якщо при цьому виникає переповнення розряду, то проводиться перенесення в старший розряд. Переповнення розряду настає тоді, коли величина числа в ньому стає рівною або більшою основи системи числення. При відніманні з меншої цифри більшої в старшому розряді займається одиниця, яка при переході в молодший розряд буде дорівнює основі системи числення. 13

Арифметичні операції в позиційних системах числення Якщо при множенні однозначних чисел виникає переповнення розряду, то в старший розряд переноситься число кратне основі системи числення. При множенні багатозначних чисел в різних позиційних системах застосовується алгоритм перемноження чисел в стовпчик, але при цьому результати множення і додавання записуються з урахуванням основи системи числення. Ділення в будь - якій позиційній системі проводиться за тими ж правилами, як і ділення кутом в десятковій системі, тобто зводиться до операцій множення і віднімання. 13

Додавання в позиційній СЧ двійкова система 0 1+1=2= = =2= =2= =2=2+0 1 Відповідь: =10= =9= =9= =3 вісімкова система 1 Відповідь: шістнадцяткова система Відповідь: C D B C =20= =25= =12=C 16 C 1

Віднімання в позиційній СЧ 13 двійкова система Відповідь: = = = =1 1 0 вісімкова система Відповідь: = = = =11-5=6 1 3 шістнадцяткова система Відповідь: 8D8 16 С В С =20-12=8 1 D =24-11=13=D =8 1

Множення в позиційній СЧ 13 двійкова система Відповідь: х =3= =2=

Ділення в позиційній СЧ 13 двійкова система Відповідь: 10,1 2 вісімкова система Відповідь: ,

Завдання для закріплення Завдання 1. Виконати арифметичні операції в різних СЧ (2) (2) 2.289,4 (16 ) + 3FD,6 (16) (2) – (2) ,3 (8) ,3 (8) (2) * (2) 6.712,3 (8) : 64,2 (8) Домашнє завдання. Виконати арифметичні операції в різних СЧ ,01 (2) ,1 (2) (2) (2) ,4 (8) + 621,2 (8) (2) – (2) ,1 (2) ,0101 (2) 6.1D4,C8 (16) - 107,4 (16) 7.3D,8 (16) * 37,4 (16). 13

Перевод цілих чисел з десяткової системи числення в інші 14 Алгоритм переводу: 1.Послідовно ділити з залишком дане число і одержувані цілі частки на основу нової системи числення до тих пір, поки частка не стане дорівнює нулю. 2.Отримані залишки записати цифрами алфавіту нової системи числення. 3.Записати число в новій системі числення з отриманих залишків в порядку, зворотному порядку отримання.

Приклад переводу цілого десяткового числа в двійкове =

Приклад переводу цілого десяткового числа у вісімкове та шістнадцяткове = = 4B 16

Перевод правильного десяткового дробу з десяткової системи числення 14 Алгоритм переводу: 1.Послідовно множити десятковий дріб і одержувані дробові частини добутків на основу нової системи числення до тих пір, поки дробова частина не стане дорівнювати нулю або не буде досягнута необхідна точність переводу. 2.Отримані цілі частини добутків записати цифрами алфавіту нової системи числення. 3.Записати дробову частину числа в новій системі числення отриманими цілими частинами добутків у порядку їх отримання.

Приклад переводу дробового десяткового числа в інші СЧ 14 0,35 2 0,70 2 1,40 2 0,80 2 1,60 2 1,20 0,35 10 = 0, ,35 8 2,80 8 6,40 8 3,20 0,35 10 = 0, , , ,60 0,35 10 = 0,59 16

Перевод речових чисел з десяткової системи числення 14 При переводі змішаних дробів окремо за своїми правилами переводяться ціла і дробові частини, результати переводу розділяються комою.

Приклад переводу речового десяткового числа в інші СЧ ,74 2 1,48 2 0,96 2 1,92 2 1,84 2 1,68 68,74 10 = , Перевести число 68,74 з десяткової системи в числення в двійкову СЧ

Приклад переводу речового десяткового числа в інші СЧ 14 Перевести число 68,74 з десяткової системи в числення у вісімкову СЧ ,92 8 7,36 8 2,88 68,74 10 = 104,572 8

Приклад переводу речового десяткового числа в інші СЧ 14 Перевести число 68,74 з десяткової системи в числення в шістнадцяткову СЧ , , ,44 68,74 10 = 44,BD 8

Перевод в десяткову СЧ 14 При переводі числа з системи числення з основою q в десяткову треба представити це число у вигляді суми добутків степенів основи його системи числення q на відповідні цифри числа: a n-1 q n-1 + a n-2 q n-2 + … + a 1 q 1 + a 0 q 0 + a -1 q -1 + … + a -m q - m і виконати арифметичні обчислення.

Приклад переводу речового десяткового числа в інші СЧ 14 Перевести число , 1 2 з двійкової системи в числення в десяткову СЧ , = = 11,5 10 разряды число 2 7 6, = = 190, разряды число 1 F = = разряды число Перевести число 2 7 6, 5 8 з вісімкової системи в числення в десяткову СЧ Перевести число 1 F 3 16 з шістнадцяткової системи в числення в десяткову СЧ

Перевод із двійкової СЧ у вісімкову та шістнадцяткову СЧ 14 Для переходу від двійкової до вісімкової / шістнадцяткової системи числення роблять таким чином: рухаючись від коми вліво і вправо, розбивають двійкове число на групи по 3/4 розряди, доповнюючи при необхідності нулями крайні ліву і праву групи. Потім кожну групу з 3/4 розрядів замінюють відповідною вісімковою / шістнадцятковою цифрою. Приклад , = 251, , BA = A9,B8 16

Перевод із вісімкової СЧ у шістнадцяткову СЧ і назад 14 При переході з вісімковій системи числення в шістнадцяткову і назад спочатку проводиться переведення чисел з вихідної системи числення в двійкову, а потім - у кінцеву систему. 527,3 8 = 1A3,F 16 = , =157, , =643,74 8

Вправи по переводу чисел із однієї СЧ в іншу 1.Перетворити десяткове число 546,3 (10) у двійкову, вісімкову, шістандцяткову СЧ. 2.Перетворити двійкове число ,0110 (2) у десяткову, вісімкову, шістандцяткову СЧ. 3.Перетворити вісімкове число 121,3 (8) у десяткову, двійкову, шістандцяткову СЧ. 4.Перетворити шістнадцяткове число 3FD,6 (16) у десяткову, двійкову, вісімкову СЧ. Домашнє завдання. 1.Перетворити десяткове число 57,23 (10) у двійкову, вісімкову, шістандцяткову СЧ. 2.Перетворити двійкове число 11110,11 (2) у десяткову, вісімкову, шістандцяткову СЧ. 3.Перетворити вісімкове число 17,53 (8) у десяткову, двійкову, шістандцяткову СЧ. 4.Перетворити шістнадцяткове число 3В,А6 (16) у десяткову, двійкову, вісімкову СЧ. 15

Контрольна робота 2 Тест Тема 2. Системи числення 16