Выполнила ученица 11 Е класса Филиппова Мария

Математический анализ Математический анализ совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. Если до настоящего времени мы изучали раздел математического анализа, называемого дифференциальным исчислением, суть которого заключается в изучении функции в малом. Т.е. исследование функции в достаточно малых окрестностях каждой точки определения. Одна из операций дифференцирования- нахождение производной (дифференциала) и применении к исследованию функций. Не менее важной является обратная задача. Если известно поведение функции в окрестностях каждой точки ее определения, то как восстановить функцию в целом, т.е. во всей области ее определения. Эта задача составляет предмет изучения так называемого интегрального исчисления. Интегрированием называется действие обратное дифференцированию. Или восстановление функции f(х) по данной производной f`(х). Латинское слово integro означает – восстановление.

Пример 1 Пусть (х)`=3 х 2. Найдем f(х). Решение: Опираясь на правило дифференцирования, нетрудно догадаться, что f(х)=х 3, ибо (х 3)`=3 х 2 Однако, легко можно заметить, что f(х) находится неоднозначно. В качестве f(х) можно взять f(х)= х 3+1 f(х)= х 3+2 f(х)= х 3-3 и др.

Т.к.производная каждой из них равно 3 х 2. (Производная постоянной равна 0). Все эти функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Поэтому общее решение задачи можно записать в виде f(х)= х 3+С, где С - любое постоянное действительное число. Любую из найденных функций f(х) называют ПЕРВООБРАЗНОЙ для функции F`(х)= 3 х 2

Определение Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на заданном промежутке J, если для всех х из этого промежутка F`(х)= f(х). Так функция F(х)=х 3 первообразная для f(х)=3 х 2 на (- ; ). Так как, для всех х ~ R справедливо равенство: F`(х)=(х 3)`=3 х 2 Как мы уже заметили, данная функция имеет бесконечное множество первообразных (смотри пример 1)

Пример 2 Функция F(х)=х есть первообразная для всех f(х)= 1/х на промежутке ( 0; + ), т.к. для всех х из этого промежутка, выполняется равенство. F`(х)= (х 1/2)`=1/2 х-1/2=1/2 х

Пример 3 Функция F(х)=tg3 х есть первообразная для f(х)=3/cos3 х на промежутке (-п/2; п/2), т.к. F`(х)=(tg3 х)`= 3/cos23 х

Пример 4 Функция F(х)=3sin4 х+1/х-2 первообразная для f(х)=12cos4 х-1/х 2 на промежутке (0;) т.к. F`(х)=(3sin4 х)+1/х-2)`= 4cos4 х-1/х 2

Первообразная. Основное свойство первообразной функции. При изучении первообразной будем опираться на следующее утверждение. Признак постоянства функции: Если на промежутке J производная Ψ(х) функции равна 0, то на этом промежутке функция Ψ(х) постоянна. Это утверждение можно продемонстрировать геометрически. Известно, что Ψ`(х)=tgα, где α-угол наклона касательной к графику функции Ψ(х) в точке с абсциссой х 0. Если Ψ`(υ)=0 в любой точке промежутка J, то tgα=0 для любой касательной к графику функции Ψ(х). Это означает, что касательная к графику функции в любой его точке параллельна оси абсцисс. Поэтому на указанном промежутке график функции Ψ(х) совпадает с отрезком прямой у=С. Итак, функция f(х)=с постоянна на промежутке J, если f`(х)=0 на этом промежутке. Действительно, для произвольного х 1 и х 2 из промежутка J по теореме о среднем значении функции можно записать: f(х 2)- f(х 1)=f`(с) (х 2- х 1), т.к. f`(с)=0, то f(х 2)= f(х 1)

Теорема (Основное свойство первообразной функции) Если F(х) одна из первообразных для функции f(х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число.

Доказательство: Пусть F`(х) = f (х), тогда (F(х)+С)`= F`(х)+С`= f (х), для х Є J. Допустим существует Φ(х)- другая первообразная для f (х) на промежутке J, т.е. Φ`(х) = f (х), тогда (Φ(х)- F(х))` = f (х) – f (х) = 0, для х Є J. Это означает, что Φ(х)- F(х) постоянна на промежутке J. Следовательно, Φ(х)- F(х) = С. Откуда Φ(х)= F(х)+С. Это значит, что если F(х) - первообразная для функции f (х) на промежутке J, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х)+С, где С - любое действительное число. Следовательно, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Пример: Найти множество первообразных функции f (х) = cos х. Изобразить графики первых трех. Решение: Sin х - одна из первообразных для функции f (х) = cos х F(х) = Sin х+С –множество всех первообразных. F1 (х) = Sin х-1 F2 (х) = Sin х F3 (х) = Sin х+1 Геометрическая иллюстрация: График любой первообразной F(х)+С можно получить из графика первообразной F(х) при помощи параллельного переноса r (0;с)

Пример: Для функции f (х) = 2 х найти первообразную, график которой проходит через т.М (1;4) Решение: F(х)=х 2+С – множество всех первообразных, F(1)=4 - по условию задачи. Следовательно, 4 = 12+С С = 3 F(х) = х 2+3

Таблицы