Выполнил : Моложенко Александр и Черваков Антон

1. Биография Пифагора 2. Не алгебраическое доказательство теоремы. А) Простейшее доказательство. Б) Древнекитайское доказательство. В) Доказательство Евклида. 3. Алгебраические доказательства. А) Первое доказательство. Б) Второе доказательство.

Биография Пифагора. Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора не известно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодиаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермо- диамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодиаманта, вни­мая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы филосо­фии. Таким образом, если Гермодиамант ввел юного Пифагора в круг музыки, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя.

Но как бы, то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на ма­леньком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым Фалесом. Фалес советует ему отправится за зна­ниями в Египет, что Пифагор и сделал. В 548 г. до н.э. Пифагор прибыл в Навкратис самосскую ко­ лонию, где было у кого найти кров и пищу. Изучив язык и религию египтян, он уезжает в Мемфис. Несмотря на рекомендательное письмо фараона, хитроумные жрецы не спешили раскрывать Пи­ фагору свои тайны, предлагая ему сложные испытания. Но влекомый жаждой к знаниям, Пифагор преодолел их все, хотя по дан­ным раскопок египетские жрецы не многому могли его научить, т.к. в то время египетская геометрия была чисто прикладной наукой (удовлетворявшей потребность того времени в счете и в измере­нии земельных участков). Поэтому, научившись всему, что дали ему жрецы, он, убежав от них, двинулся на родину в Элладу. Од­нако, проделав часть пути, Пифагор решается на сухопутное пу­тешествие, во время которого его захватил в плен Камбиз, царь Вавилона, направлявшийся домой. Не стоит драматизировать жизнь Пифагора в Вавилоне, т.к. великий властитель Кир был терпим ко всем пленникам.

Вавилонская математика была, бесспор­но, более развитой (примером этому может служить позиционная система исчисления), чем египетская, и Пифагору было чему по­учится. Но в 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. Конечно же, Пифагора не устраивала жизнь придворного полу раба, и он удалился в пещеры в окрестностях Самоса. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена («пифагорейцы»), члены которого обязывались вести так на­зываемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество....Прошло 20 лет. Слава о братстве разнеслась по всему миру. Однажды к Пифагору приходит Килон, человек богатый, но злой, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начинает борьбу с Пифагором, воспользовавшись поджогом его дома. При пожаре пифагорейцы спасли жизнь своему учителю ценой своей, после чего Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах» квад­рате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на кате­тах. Причина такой популярности теоремы Пифагора трие­дина: это простота красота значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притяга­тельную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), сви­детельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение первой книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка».

Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (около 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрической-теологическом трактате VII V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»). В древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э. и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто невозможно представить, что это словосочетание распадется. Рассмотрим некоторые классические доказательства теоремы Пифагора известные из древних трактатов.

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (Рис.1), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для АВС квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,по два. Рисунок 1 Теорема доказана

Древнекитайское доказательство. Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II в. до н.э. Дело в том, что в 213 г. до н.э. китайский император Ши Хуанди, стремясь ликвидировать прежние традиции, приказал сжечь все древние книги. Во II в. до н.э. в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссозда­ние древних книг. Так возникла тематика в девяти книгах главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений в книге «Математики» помещен чертеж (Рис. 2 а) доказывающий теорему Пифагора. Рисунок 2

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе. (рис. 2 б). Если квадрат со сторо­ной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. 2 в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с, а с другой а 2 +b 2 т.е. c 2 =a 2 +b 2 Теорема Доказана.

Здесь Теорема Пифагора рассмотрена для египетского треугольника с катетами 3, 4 и гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в него квадрат на большем катете Ясно, что оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет квадрат на меньшем катете. На рисунке 3 воспроизведен чертеж из трактата «Чжоуби...». Рисунок 3

Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (рис. 4) с характерным для индийских доказательств словом «смотри!» Древнеиндийское доказательство Рисунок 4

Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с 2 перекладывается в «кресло невесты» а 2 -Ь 2 (рис. 5) Рисунок 5

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника строятся соответствующие квадраты (рис. 6) и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна. квадрату на гипотенузе. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги «Начал» В самом деле, затушеванные на рисунке тре­угольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB=AB, BC=BD и FBC=d+ABC=ABD. Но S A BD =1/2 S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S F BC =1\2 S ABFH (BF общее основание, АВобщая высота). Рисунок 6

Пусть Т прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой с (рис. 6, а). Докажем, что с 2 =а 2 +Ь 2. Посмотрим Q со стороной а+Ь (рис. 6, б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоугольные треугольники T 1, T 2, Т 3, Т 4 с катетами а и Ь. Четырехугольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р квадрат со стороной с. Все треуголь­ники T 1, Т 2, Т 3, Т 4 равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т.е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые. Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора

Пусть α и β величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, α+β= 90°. Угол Ύ при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными α и β, составляет развернутый угол. Поэтому α+β+ Ύ = 180°. И так как α+β= 90°, то Ύ=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следовательно, четырехугольник Р квадрат со стороной с. Рисунок 7

Квадрат Q со стороной a+b слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треугольнику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T). Так как: S(Q)=(a+b) 2 ; S(P)=c 2 и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство (a+b) 2 =c 2 +4*(1/2)ab. поскольку (a+b) 2 =a 2 +b 2 +2ab, то равенство (a+bf=c +4*(1/2)ab можно записать так: a 2 +b 2 +2ab=c 2 +2ab. Из равенства a 2 +b 2 +2ab=c 2 +2ab следует, что с 2 =а 2 +Ь 2. Что и требовалось доказать

Пусть ABC данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямо­го угла С (рис. 8). Еще одно алгебраическое доказательство Рисунок 8

По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) cosA=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC 2. Аналогично cosB=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=BC 2. Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: AC 2 +BC 2 =AB(AD + DB)=AB 2. Теорема доказана.