Построение графиков функций элементарными методами Применение графиков в решении уравнений с параметрами

Содержание Актуальность темы Геометрические преобразования графиков Метод рамок Метод инверсии Метод инверсии относительно оси ОХ Метод инверсии относительно оси ОУ Метод инверсии относительно обеих осей Практическое применение инверсии Список используемой литературы

Рассмотрение данной темы традиционно важно для подготовки к вступительным экзаменам, при котором: закладываются основы аналитического мышления; формируется интуиция; развивается логика и культура использования функциональных обозначений и методов.

Геометрические преобразования графиков в 8 классе (построение графиков с помощью параллельных переносов и симметрий); в 9 классе (с помощью сжатий и растяжений вдоль осей); в 10 классе (повторение всех преобразований при построении графиков тригонометрических функций, функций, содержащих целую и дробную часть, построение графиков с помощью инверсий относительно осей координат, построение графиков с помощью пределов и производных). Геометрические преобразования графиков применяются:

параллельный перенос вдоль осей; симметрия относительно осей; модуль функции; сжатие относительно осей. В школьном курсе математики преобразования параллельного переноса и растяжения (сжатия) к осям ОХ и ОУ вводятся на отдельных примерах и систематизируются только в математике 10 класса. Основная цель здесь заключается в том, чтобы по виду уравнения некоторой функции: y = a f ( b x + c ) + d, выделить одну из последовательностей преобразований исходной функции y = f ( x ) : Геометрические преобразования графиков Рисунок 1

Метод рамок Основная идея метода состоит: в выделении с помощью прямоугольной определенной части графика на промежутке периода; в фиксировании на этой части графика определённых точек (контрольных): нули функции, точки экстремумов, расположение которых не меняется по отношению к рамке при преобразованиях сдвига и сжатия.

Метод рамок Рисунок 2

Метод рамок Преимущества метода: метод хорошо и быстро усваивается учащимися; метод прост, удобен (не надо изображать лишнего) в сравнении с ранее изученными способами; учителю легко проверить соответствие построенного графика заданному уравнению; метод может быть распространен и на другие, не только периодические функции, но именно для периодических функций его применение наиболее целесообразно.

Метод инверсии Переход к применению инверсии затруднителен, ибо в отличие от движений плоскости и сжатий, растяжений они неизвестны школьникам и не так уж наглядны, поэтому необходимо мотивировать их введение. Инверсия в филологии близкие, далёкие точки от прямой. Рисунок 3

Метод инверсии Новая тема начинается с рассмотрения графика функции, изобразив который необходимо обсудить: будет ли пересекаться искомый график с построенным; как поведет себя искомый график там, где абсциссы его точек близки к единице; как поведет себя график там, где абсциссы его точек велики. Рисунок 3

Метод инверсии Так как учащиеся знают, что если функция y = f ( x ) возрастает и принимает только положительные значения, то y = 1 / f (x ) убывает Построение этого графика проходит достаточно легко (они могут построить его самостоятельно).

Метод инверсии Определение инверсии относительно прямой: ! ! Точка В называется инвертной точке А относительно данной прямой если: эти точки лежат по одну сторону относительно оси L; отрезок, их соединяющий, перпендикулярен оси L; произведение расстояний от этих точек до L равно 1; у точек оси инвертных точек нет.

Инверсия относительно оси ОХ График: q ( x ) = 1 / f ( x ), получается из графика: y = f ( x ), инверсией относительно оси ОХ. Рисунок 4

Инверсия относительно оси ОУ График: q (x ) = f ( 1 / x ), получается из графика: y = f ( x ), инверсией относительно оси ОУ. Рисунок 5

Инверсия относительно обеих осей Г (Х-1)² Инверсия ОХ Инверсия ОУ Рисунок 6

Свойства инверсий и построение графиков с их помощью: доказываются теоремы; разбираются образцы заданий; пишутся самостоятельные работы. Например, для самостоятельной и домашней работы предлагаются задания построить графики функций: а) г) б) д) в) е)

Свойства инверсий и построение графиков Рисунок 7

Практическое применение инверсии Рассмотренная тема находит свое применение в решении уравнений и неравенств с параметрами графическим методом. Он состоит в построении кривой, определяемой уравнением с параметром: После преобразования получаем: (а - 1)х² - 4(а - 1)х + 3 а – 4 = 0

Практическое применение инверсии С помощью графика установить: а) при каких значениях параметра а уравнение не имеет решения; б) при каких значениях параметра а уравнение имеет решения разных знаков; в) при каких значениях параметра а уравнение имеет корень из отрезка [-1;2]; г) при каких значениях параметра а уравнение имеет корень больше 6.

Практическое применение инверсии Рисунок 8 с помощью графика легко ответить на поставленные вопросы; графический способ дает единообразие рассуждений; если решение вызывает сомнение, необходимо подкрепить выводы аналитически.

По данной теме проводятся: уроки-практикумы коллоквиумы презентации Учащиеся к урокам готовят задания, представляют функции, графики которых можно построить используя рассмотренные преобразования. График в силу своей наглядности является незаменимым в исследовании поведения функции и в решении некоторых уравнений и неравенств, в том числе и с параметром. Практическое применение инверсии

Список используемой литературы И.М. Гельфанд, Е.Г. Глаголева, Э.Э. Шноль Функции и графики (основные приемы). – М.: Издательство «Наука», с. А.П. Карп Даю уроки математики…: Кн. для учителя: Из опыта работы. - М.: Просвещение, с.