Последовательности. Арифметическая прогрессия. П

Наши цели: Эта презентация познакомит вас с различными последовательностями, с историей их открытия. Вы узнаете много нового об арифметической и геометрической прогрессиях, научитесь решать задачи. В конце вас ждет небольшой тест, который поможет понять, насколько хорошо вы усвоили тему.

Оглавление 1. Последовательности Общее представление о последовательностях : -определение -способы задания Самые известные последовательности: -Последовательность простых чисел, решето Эратосфена-Последовательность простых чисел решето Эратосфена -Совершенные числа -Дружественные числа -Фигурные числа :-Фигурные числа -треугольные -квадратные -Числа Фибоначчи -Золотое сечение 2. Арифметическая прогрессия Определение Сумма арифметической прогрессии Древние задачи на арифметическую прогрессию Примеры решения задач Вопросы,тест.

Часть 1. Последовательности – это такой ряд чисел, которые, так или иначе, относятся друг к другу или имеют между собой что-то общее. Последовательность Члены последовательности обычно обозначаются буквами с индексом : а 1 а 2 а 3 а 4 а 5 а 6 а 7 и так далее Например, нам дана последовательность натуральных чисел. Тогда обозначим члены последовательности буквами вот так: 1 -а 1 2- а 2 3- а 3 4 -а 4… и так далее…

Способы задания последовательности Задать последовательность – это значит указать способ, позволяющий найти любой член последовательности с любым порядковым номером такая последовательность, каждый член которой является половиной предыдущего, а первый член последовательности равен Описание. Например : Решение очевидно: 1, ½, ¼, и т.д. Или последовательность, каждый член которой является суммой двух предыдущих Решение: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 … Последовательность можно задать тремя способами:

Способы задания последовательности. 2. Рекуррентный способ - с помощью рекуррентного способа можно высчитать любой член последовательности, зная первый Приведем пример: Пусть первый член последовательности а 1 =3. И каждый следующий член последовательности равен квадрату предыдущего То есть: а 1 =3 a 2 = a 1 2 = 3 2 =9 а 3 =а 2 2 =а 1 4 =3 4 = 81 …и т.д.

Способы задания последовательности 3. Формула n-ого члена. an=n2an=n2 Например : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 и т.д. ( ) Вот последовательность, задаваемая этой формулой: 2) 2,4,6,8, 10, 12, 14, 16…. а это - последовательность четных чисел, которая задаётся формулой: a n =2n

Последовательность простых чисел Наверное, самая известная последовательность – это именно последовательность простых чисел Простое число это натуральное число, большее единицы, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя. Список простых чисел до 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, Напомним, что

Простые числа Кажется, что никакой связи между членами последовательности простых чисел нет, не так ли? Тогда как определить является число простым или нет? Самое простой ответ на этот вопрос был предложен еще в 3-ем веке д.н.э. греческим математиком Эратосфеном. Эратосфеном Именно он предложил не высчитывать, является ли определенное число простым или нет, а целенаправленно искать именно простые числа среди натуральных. Для этого он придумал метод «решета»,который впоследствии назвали «Решетом Эратосфена»

Решето Эратосфена Это «решето» помогает нам найти простые числа в определенном множеств (в нашем случае – среди натуральных чисел от 1 до 120) Алгоритм работы прост: 1)Сначала закрашиваем красным цветом четные числа 2)Затем зеленым числа, кратные 3 3)Далее- 5 (синим) 4)И потом – 7 (желтым) Все оставшиеся числа(фиолетового цвета) и будут простыми. Получается, что мы «просеиваем» натуральные числа, отыскивая простые

Простые числа. Эратосфен Эратосфен из Кирены или Эратосфен Киренский, гг. до н. э., греческий математик, астроном, географ и «филолог». Самым первым открыл самый простой способ нахождения простых чисел – «решето»

Эратосфен Прибыв в Александрию в раннем возрасте, он получил здесь образование под руководством своего учёного земляка Каллимаха, стоявшего во главе александрийской библиотеки и философа Лизания Неудовлетворенный познаниями, приобретенными в Александрии, Эратосфен отправился в Афины, где так тесно сблизился со школой Платона, что обыкновенно называл себя платоником. Результатом изучения наук в этих обоих центрах древнегреческого просвещения была очень разносторонняя, почти энциклопедическая эрудиция Эратосфена. Он писал, кроме сочинений по математике, астрономии, геодезии, географии и хронологии, ещё трактаты «о добре и зле», о комедии и др.

Эратосфен Из всех своих сочинений Эратосфен придавал особенное значение чисто литературным и грамматическим, как это можно заключить из того, что он любил называть себя филологом. Отголоски призвания его обширной учёности современниками звучат и в названиях, которые он получил от них. Называя его «бета», они, по предположению многих исследователей, желали выразить свой взгляд на него, как на второго Платона, или вообще как на учёного, который только потому занимает второе место, что первое должно быть удержано за предками. Другим названием Эратосфена, которое ему дали ученики александрийского музеума, было «пентатлон», то есть боец во всех пяти видах воинского искусства, употреблявшихся на состязаниях. Царь Птолемей Эвергет тотчас же после смерти Каллимаха вызвал Эратосфена из Афин и поручил ему заведование великой Александрийской библиотекой. Удаленный в старости от этой должности, он впал в крайнюю нищету и, страдая притом болезнью глаз или даже совсем ослепнув, уморил себя голодом

Совершенные числа Следующая последовательность, с которой мы познакомимся – это последовательность совершенных чисел. Совершенное число натуральное число, равное сумме всех своих младших делителей (т. е. всех делителей, отличных от самого числа). Первое совершенное число 6 ( = 6), следующее 28 ( = 28). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число 496, Четвёртое 8 128, Пятое , Шестое Вопрос о существовании нечётного совершенного числа открыт до сих пор. Известно, что если такое число существует, то оно должно быть больше Неизвестно также, бесконечно ли количество всех совершенных чисел.

Совершенные числа Совершенные числа были предметом пристального внимания пифагорейцев. В частности, Пифагор заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме последовательных натуральных чисел, начиная с единицы (т. е. являются треугольными числами): 6 = , 28 = , 496 = = Совершенным числам приписывались удивительные свойства. Во многих языческих культурах самое маленькое совершенное число – 6 – наделялось магическими свойствами. А христиане средневековья утверждали, что Бог создал мир за 6 дней именно потому, что хотел насладиться совершенством своего творения

Дружественные числа Дружественные числа два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. А сейчас мы познакомимся с последовательностью дружественных чисел Дружественными являются, например, числа 220 и 284. И в самом деле, делители 220:1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110 дают в сумме 284, а сумма делителей 284 равны 220

Дружественные числа Дружественные числа были открыты последователями Пифагора. Правда, пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел 220 и 284. Только спустя много столетий Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор. На ноябрь 2006 года известно пар дружественных чисел. Все они состоят из двух чётных или двух нечётных чисел. Есть ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно.

Пифагор Пифагор Самосский (лат. Pythagoras; гг. до н. э.) древнегреческий философ и математик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев. Считал, что все в мире основывается на числах, придавал особое значение комбинациям различных цифр. Является создателем знаменитой теоремы Пифагора о прямоугольном треугольнике

Фигурные числа Фигурные числа общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Мы уже упоминали о треугольных числах. Так вот, они являются представителями так называемых фигурных чисел. Числа древними греками, а вместе с ними и Пифагором мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, именуемые фигурными.

Фигурные числа Фигурные числа бывают: -числа, которые делятся только на единицу и на самих себя, и, следовательно, представимы только в виде последовательности точек, выстроенных в линию. Линейными являются все простые числа а)Линейными:

Фигурные числа б)Плоские числа в) Телесные числа Плоскими являются все четные числа

Фигурные числа. Треугольные числа г)Треугольные числа Треугольное число это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника(см.рисунок) Последовательность треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55…

Фигурные числа. Интересные свойства треугольных чисел. T n + T n1 = n 2. 1)Сумма двух последовательных треугольных чисел это квадратное число, т.е. 3)Одно из самых известных треугольных чисел это 666,также известное как Число Зверя 2)Каждое чётное совершенное число является треугольным.

Фигурные числа. Квадратные числа. д)Квадратные числа - это число кружков, которые могут быть расставлены в форме квадрата(см.рисунок ) Следует добавить, что именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб»

Последовательность Фибоначчи Ну и последняя знаменитая последовательность, с которой мы познакомимся – это последовательность Фибоначчи Последовательность Фибоначчи - это бесконечная последовательность чисел, каждое из которых является суммой двух предыдущих Первые члены последовательности Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 Hо почему же тогда эта последовательность так важна? Казалось бы, ничего особенного….

Последовательность Фибоначчи Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (напpимеp, 13:8), результатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения и через раз то превосходящая, то не достигающая его. Дело в том, что данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению, которое играет очень важную роль в нашей жизни,и в математике в частности. Однако это соотношение иppационально, его невозможно выразить точно.

Последовательность Фибоначчи φ= ~ Обычно это значение обозначают греческой буквой φ и принимают примерно равным 1,618 Это соотношение обычно называют Золотым сечением. Чтобы понятнее объяснить, что такое золотое сечение, воспользуемся рисунком. На рисунке отрезок АВ разделен точкой С так, что АС : АВ = СВ : АС. А отношение АС : АВ и будет равным φ

Золотое сечение. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Исследования доказали, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничны

Золотое сечение Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами - теоремой Пифагора и золотым сечением. И если первое из этих двух сокровищ можно сравнить с мерой золота, то второе с драгоценным камнем. Золотое сечение часто встречается в архитектуре храмов Древней Греции, Рима и Египта. Считается, что даже вавилоняне знали о существовании этой замечательной пропорции. Пропорции пирамиды Хеопса, знаменитый Парфенон, различные украшения и предметы быта, изображенные на барельефах, соответствуют соотношениям золотого сечения. Нажми, чтобы увеличить

Золотое сечение и Парфенон Отношение золотого сечения наблюдается в отношение расстояния между разными колоннами друг к другу и в отношении свода

Золотое сечение Само понятие «золотая пропорция» ввел великий Леонардо да Винчи, а его самая знаменитая картина – «Мона Лиза»- построена по принципу «золотых треугольников»

Гармоничный храм Василия Блаженного в Москве Неизвестно, знали ли что- нибудь о золотом сечении в 16 веке, но факт остается фактом : храм Василия Блаженного тоже построен по принципам золотого сечения.

Золотое сечение Приглядевшись внимательней, можно заметить пропорции золотого сечения и в нашей обыденной жизни. Исследования, проведенные немецким ученым Цейзингом,показали,что пропорции человеческого тела соответствуют пропорциям золотого сечения

Золотое ч. Пропорции золотого сесения можно встретить и в живой природе. Например, в веточке цикории, длине туловища и хвоста ящерицы и изящном сложении стрекозы.

Фибоначчи. Математик Фибоначчи жил в двенадцатом столетии (1175 г).).. Среди его величайших достижений - введение арабских цифр взамен римских. По его трудам, превосходящим арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику до XVI-XVII веков. Происхождение этой последовательности обычно связывается с именем итальянского купца Леонардо Пизанского, более известного под прозвищем Фибоначчи

Золотое сечение. Последовательность Фибоначии Вот и получается, что многое в нашей жизни зависит от чисел, последовательностей, а самые красивые, гармоничные, эстетически привлекательные вещи всегда несут в себе гармонию чисел.

Часть 2. Арифметическая прогрессия Среди числовых последовательностей больше всего внимания уделяется арифметической прогрессии. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему числу, сложенному с одним и тем же числом. То есть члены арифметической прогрессии отличаются на одно и то же число (разность прогрессии) Её обычно обозначают буквой d

Способы задания арифметической прогрессии Арифметическую прогрессию как и любую другую последовательность, можно задать, как вы уже знаете, 3-мя способами: - Описанием - Рекуррентным способом - И формулой n -ого члена Чаще всего для того, чтобы описать арифметическую прогрессию, используют формулу n-ого члена. В общем же виде, согласно определению, арифметическую прогрессию задают с помощью рекуррентного способа.

Формула арифметической прогрессии a n+1 = a n +d Формула арифметической прогрессии: где d - некоторое число Например, если а 1 = 1 и d = 3, то a 2 = а 1 + d=1+3=4, а 3 = a 2 +d = 4+3=7, a 4 =10 и т.д.

Арифметической прогрессия В зависимости от знака d арифметическая прогрессия может быть возрастающей или убывающей Подумайте, а что будет при d = 0? Если d > 0, то прогрессия возрастающая, если же d < 0, то прогрессия убывающая. a n = -2n Пример убывающей арифметической прогрессии: a 1 = -2 a 2 = -3 a 3 = -6 a 4 =-8 и т.д. тогда

Среднее арифметическое Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии, то есть Арифметическая прогрессия обладает очень интересным свойством: Что интересно, можно утверждать и обратное

Признак арифметической прогрессии Если одно из трех чисел является полусуммой двух других, значит эти числа – члены одной арифметической прогрессии Например, мы можем утверждать, что 2, 4 и 6 являются членами арифметической прогрессии, так как $$\frac{2+6}{2}.=4$$

Сумма арифметической прогрессии Чаще всего в задачах про арифметическую прогрессию требуется найти сумму конечной последовательности. Нетрудно понять, что сумма арифметической прогрессии равна сумме всех его членов. Где S – сумма арифметической прогрессии n – количество членов конечной последовательности a - первый член прогрессии l последний член последовательности

Древнейшая задача на прогрессию Древнейшая задача на арифметическую прогрессию