Использование копул для моделирования рисков на фондовом рынке Бологов Я.В.

Финансовый риск Финансовый риск – это опасность неполучения ожидаемого дохода или получения убытков. Для измерения финансового риска будет использован показатель «граница потерь» (Value at Risk, VaR): Задача: построить адекватную модель распределения доходности портфеля акций для расчёта границы потерь.

Основные понятия теории копул (1:6) Двумерный случай Копула – функция, со следующими свойствами: – заземлённость – согласованность

Основные понятия теории копул (2:6) Теорема Скляра (1959). Пусть и – частные функции распределения, – совместная функция распределения такая, что и, тогда существует копула такая, что. Теорема Скляра позволяет разделить процедуру оценки параметров совместного распределения на два шага: оценка параметров частных функций распределения; оценка параметров копула-функции. Гибкость этого подхода заключается: в свободе выбора частных функций распределения; в свободе выбора вида копула-функции.

Основные понятия теории копул (3:6) Виды копул: эллиптические (нормальная, Стьюдента, Коши, Лапласа и др.) архимедовы (Клейтона, Гумбеля, Франка и др.) эмпирические

Основные понятия теории копул (4:6) Нормальная копула Копула Стьюдента Эллиптические копулы

Основные понятия теории копул (5:6) Копула Клейтона Копула Стьюдента Архимедовы копулы

Основные понятия теории копул (6:6) Модель Copula-GARCH. Позволяет моделировать взаимосвязь между активами с учётом эффекта кластеризации волатильности. Спецификация модели: моделируется с помощью копулы

Характеристика данных Обучающая и экзаменующая части; На обучающей строится модель доходности, на экзаменующей – измеритель риска (VaR); Обучающая часть расширяется за счёт экзаменующей.

Модели Двумерные распределения (нормальное, t-распределение Стьюдента и обобщённое гиперболическое распределение) Моделирование совместной функции распределения с помощью копул (эллиптических и архимедовых) Модель Copula-GARCH

Алгоритм расчётов 1. Оценка параметров двумерного распределения на основе обучающей выборки с помощью выбранной модели 2. Генерирование методом Монте-Карло большого количества (10000) значений смоделированной двумерной случайной величины 3. Расчёт доходности портфеля активов с заданными весами: и 4. Расчёт показателя VaR при помощи отсечения квантиля 5. Присоединение следующего наблюдения к обучающей части, возврат к шагу 1.

Сравнительные результаты моделирования

VaR на основе многомерного распределения Стьюдента

На основе копулы Клейтона

На основе GARCH + нормальная копула

Выводы Алгоритм построения оценок финансового риска с использованием копул за счёт своей гибкости показал лучшие результаты по сравнению с традиционным подходом Не удалось обнаружить существенный отличий при использовании копул разных видов Модели Copula-GARCH позволяют регулировать величину резервов на возможные потери, учитывая уровень волатильности. Их можно использовать для анализа и управления рисками.

Список литературы Cech C. Copula-based top-down approaches in financial risk aggregation, 2006 Cholette L., Heinen A. Frequent Turbulence: A Dynamic Copula Approach, 2006 Fantazzini D. Dynamic copula modeling for Value at Risk Junker M., Szimayer A. Nonlinear Term Structure Dependence: Copula Functions, Empirics, and Risk Implications, 2003 Natale F.P. Optimization with Tail-Dependence and Tail Risk: A Copula Based Approach for Strategic Asset Allocation Nelsen R.B. An Introduction to Copulas, 2005 Savu C., Trede M., Hierarchial Archimedian Copulas, 2006 Tang A., Valdez E.A., Economic Capital and the Aggregation of Risks using Copulas

Тестирование моделей (1:3) Тест Купика. – уровень значимости модели – количество пробоев уровня VaR – длина кривой VaR

Тестирование моделей (2:3) Функция потерь Лопеса. Функция потерь Бланко-Ила.

Тестирование моделей (3:3) Отношение правдоподобия. более общая модель обладает той же объясняющей силой, что и её частный случай. Информационный критерий Акаике. где – количество параметров модели