Приближенное решение систем нелинейных уравнений Методами Ньютона и Итераций

В отличии от систем линейных уравнений для систем нелинейных уравнений не известны прямые методы решения, и поэтому всегда применяются итерационные методы. В наиболее общем случае систему нелинейных уравнений можно представить в виде f 1 (x 1,x 2,..., x n )=0, f 2 (x 1,x 2,..., x n )=0, f n (x 1,x 2,..., x n )=0, т.е. как n функций f i от n неизвестных x i.Задача состоит в том,чтобы найти решение этой системы. В данном разделе мы рассмотрим общепринятые методы решения и их ограничения.

Решение системы уравнений. Пусть вектор функций, где, дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности решения х * уравнения (системы уравнений) Матрица F(x), имеющая вид называется матрицей Якоби системы функций f 1 (x), f 2 (x),…, f n (x), в точке х. Обозначим, если det F(x)., через F -1 (x) Якоби F(x).

Метод Ньютона. (16) Упрощенный метод Ньютона: (17) Упрощение состоит в том, что обратная матрица F -1 (x 0 ) находится один раз, а не в каждой итерации. Если det F(x * ) и начальное приближение х 0 взято достаточно близко к х *, то итерация (16) и (17) сходятся в метрике к х *. Характер сходимости тот же, что и при n=1, т.е итерации (13(см.умк)), начиная с некоторого момента, сходятся очень быстро по квадратичному закону, а для итераций (14(см. в умк)) гарантируется сходимость только по геометрической прогрессии.

Метод итерации Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными действительные корни, которых нужно найти с заданной степенью точности. Т. к. не существует прямых методов решения систем нелинейных уравнений, то для этого используют итерационные методы. Перейдем к уравнениям вида где и - определены и непрерывно дифференцируемы, и имеют единственное решение в области.

Пусть, - начальные грубо приближенные значения корней, которые можно найти, построив кривые, и определив координаты точек пересечения. Для уточнения решения используются формулы …….………………… Процесс итераций сходится, если в области D выполняются условия Првило останова где

Пример Задание: решить систему нелинейных уравнений методом итераций с заданной точностью ε=10 -4 Sin(x+y)-1.2x=0.2 x 2 +y 2 =1 Перепишем данную систему в виде: y=arcsin( x)-x x=±(1-y) ½

Отделение корней производим графически. Из графика известно, что система имеет одно решение, заключённое в области D: 1< x<1; -1<y<1; -1<x<0.667;

Убедимся в том, что метод итераций применим для уточнения решения системы, для чего запишем её в следующем виде: x = φ 1 (x, y) = ±(1-y) ½ ; y = φ 2 (x, y) =arcsin( x)-x. Так как | φ 1 / x | + | φ 2 / x | = | 1.2/(1-( x) 2 ) 1/2 |<1; | φ 1 / y | + | φ 2 / y | = | y*(1-y 2 ) -½ | <1. Таким образом, условия сходимости выполняются. Вычисления производим по формулам x n+1 = -(1-y n ) ½ ; y n+1 = arcsin( x n )-x n За начальные приближения принимаем x 0 = -0.8,, y 0 = 0.

NXY-(1-y n ) ½ ;arcsin( x n )-x n

ε 1 =|x n –x n-1 |=| |= <0.001 ε 2 =|y n –y n-1 |=| |= <0.001 Ответ: x= , y= Проверяем решение на Maple:

Метод Ньютона Начальное приближение: Вектор-функция: Матрица Якоби вектор-функции:

Вычисляем корень по формуле метода Ньютона c точностью :