Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180 0, то прямые параллельны. 1 2 а b c c а b 1 2 c а b 1 2 Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Признаки параллельности прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. a II b, c b c a Аксиома параллельности и следствия из неё. а А Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a II с, b II с a II b а b с c b

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. а b M N Дано: a II b, MN- секущая. Доказать: 1= 2 (НЛУ) Доказательство: способ от противного. Допустим, что 1 2. Отложим от луча МN угол NМР, равный углу 2. По построению накрест лежащие углы NМР= 2 РМ II b. Получили, что через точку М проходит две прямые (а и МР), параллельные прямой b !!! Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит наше допущение неверно!!! 1= 2. Теорема доказана. 1 2 Р

1 2 Теорема об односторонних углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. b а c 3 Дано: а II b, c- секущая. Доказать: OУ 1 + 2= Доказательство: 3+ 2 =180 0, т. к. они смежные. 1= 3, т. к. это НЛУ при а II b = Теорема доказана. Если то условие заключение теоремы две параллельные прямые пересечены секущей, сумма односторонних углов равна

2 х+30 0 х 1 х 2= х , т.к. ОУ при а II b ВОА=х, Составь уравнение… Найди сам угол. М N В A B Задача Если MN II AB, а угол 2 больше угла 1 на 30 0, то угол 2 равен… Решение: 1= х, 2= х+30 1= ВОС, они вертикальные. О С

1 2 Теорема о соответственных углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. b а c 3 Дано: а II b, c- секущая. Доказать: СУ 1 = 2. Доказательство: 2 = 3, т. к. они вертикальные. 3 = 1, т. к. это НЛУ при а II b 1 = 3 = 2 Теорема доказана. Если то условие заключение теоремы 1 2 две параллельные прямые пересечены секущей, соответственные углы равны.

Свойства углов при параллельных прямых. Дано: a II b. a b = a b 2 1 Сумма углов 1 и 2 равна = a b a II b 2 1= 2 3 2= 2= 3= 3= 2= 2= a b a II b 1= 2= 2= 1: 2 = 4 : 5. a b 1 1= 2= 2= a II b 1 2

1 2 b а c Дано: а II b, c – секущая. Один из односторонних углов на 20% меньше другого. Найти: все углы. Решение: 2=х, 1 на 20% меньше, т.е. 80% 1=0,8 х 2=х 180 0, т.к. ОУ при 1=0,8 х а II b Составь уравнение… Найди сам все углы… 5 Задача 1= 2= 3= 4= 5= 6= 7= 8=

Тренировочные упражнения 2 1 b а c Дано: а II b, с – секущая 1 = 4 2 Найдите: 1 и 2 Угол 1 в 4 раза больше угла 2 х 4 х

Тренировочные упражнения 2 1 b а c Дано: а II b, с – секущая 1 – 2 = 30 0 Найдите: 1 и 2 х х+30 b а c Угол 1 на 30 0 больше угла 2

Тренировочные упражнения 2 1 b а c Дано: а II b, с – секущая 2 = 0,8 1 Найдите: 1 и 2 Угол 2 составляет 0,8 части угла 1 х 0,8 х

Тренировочные упражнения 2 1 b а c Дано: а II b, с – секущая 1 : 2 = 5 : 4 Найдите: 1 и 2 5 х 4 х 5 : 4 Пусть х – 1 часть

% Тренировочные упражнения 2 1 b а c Дано: а II b, с – секущая 2 составляет 80% от 1 Найдите: 1 и 2 х 0,8 х

2 1 b а c а II b Дано: а II b, с – секущая 1 : 2 = 5 : 4 Найдите: 1 и 2 5 х 4 х AB = BC, A=60 0, CD – биссектриса угла ВСЕ. АВ II CD Докажите, что АВ II CD. A С B D E биссектриса 5 : 4 Пусть х – 1 часть

Используя данные рисунка, найдите углы 1, 2 и 3. а b с d

Может ли еще один из семи остальных углов, образованных при пересечении прямых a и b с прямой d, быть равен ? 60 0 ? Почему? а b m d

На рисунке АС II ВD и АС = АВ, МАС = Найдите СВD. С D M A B

ED A Построим CN II AB B На рисунке АВ II ЕD. Докажите, что ВСD = B + D C Подсказка N

ED A Построим CN II AB B C Подсказка N На рисунке АВ II ЕD. CВА = 140 0, СDE = Докажите, что ВС СD

6 45 На рисунке a II b, c – секущая, DM и DN – биссектрисы смежных углов, образованных прямыми a и c. DE = 5,8 см Найдите MN. с D M E а b N 5,8 см ?

A D E 34 0 B C M На рисунке АВ ED и KM ED, ABE = 34 0 MN – биссектриса КМС Найдите EMN. K ? N

A D E 48 0 B C M На рисунке АС II BD и KC II MD, ACK = 48 0 CDK в 3 раза больше EDM Найдите КDE. K 48 0 x 3x