Муниципальное образовательное учреждение «Храбровская средняя общеобразовательная школа» Десять способов решения квадратного уравнения (пособие для учащихся 8 – 9 классов) Работу выполнила ученица 9 «А»класса Салова Эллина Руководитель работы: Белкина Анна Владимировна, учитель математики

2 Человеку, изучающему алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт. У. У. Сойер / английский математик и педагог XX в./

3 Цель работы - выявить и изучить различные способы решения квадратных уравнений, овладеть навыком применения этих способов. Задачи: 1. Изучить по различным источникам информацию о способах решения квадратных уравнений. 2. Сделать анализ найденных способов и выполнить классификацию способов решения квадратных уравнений по следующим признакам: a) сложность решения ; b) методы рационального решения; c) практическое применение.

Основным является способ решения по формуле корней квадратного уравнения: Способ первый

5 Десять способов решения квадратного уравнения Способ второй Разложение левой части уравнения на множители. Этим способом квадратные уравнения решаются уже учениками седьмого класса после того как они научатся раскладывать на множители способом группировки.

6 Десять способов решения квадратного уравнения Способ второй. Разложение левой части уравнения на множители. х х – 24 = 0 Разложим левою часть уравнения на множители: х х – 24 = х х – 2 х – 24 = = х(х + 12) – 2(х + 12) = (х + 12)(х – 2); (х + 12)(х – 2) = 0; х + 12 = 0 или х – 2 = 0; х 1 = -12 х 2 = 2 ; Числа – 12 и 2 являются корнями данного уравнения. Ответ: х 1 = -12 ; х 2 = 2.

7 Десять способов решения квадратного уравнения Способ третий. Метод выделения полного квадрата. х х – 7 = 0 х х = х х. 3 х х = ( х + 3 ) 2 х х – 7 = х х – 7 = = ( х + 3 ) 2 – 9- 7 = ( х + 3 ) 2 – 16 ( х + 3 ) 2 – 16 = 0 ( х + 3 ) 2 = 16 х + 3 = 4 или х + 3 = - 4 х = 4 – 3 х = х 1 = 1 х 2 = - 7 Уравнение х х – 7 = 0 имеет два корня: х 1 = 1 и х 2 = - 7. Ответ: х 1 =1; х 2 = - 7.

8 Приведенное квадратное уравнение имеет вид x 2 + px + g = 0 Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая имеет вид х 1 x 2 = g; x 1 +x 2 = -p. Десять способов решения квадратных уравнений Способ четвертый. Решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной)

9 По коэффициентам p и g можно предсказать знаки корней. а) Если свободный член g приведенного уравнения положителен (g > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если p > 0, то оба корня отрицательны. Если p < 0, то оба корня положительны. б)Если свободный член g приведенного уравнения отрицателен (g < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня. Больший по модулю корень будет положителен, если p<0. Больший по модулю корень будет отрицателен, если p>0.

10 a) х 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2 и x 2 = 1, так как g = 2 > 0 и p = -3 < 0. б) х 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = -7 и x 2 = -1,так как g = 7 > 0 и p = 8 > 0. По коэффициентам p и g можно предсказать знаки корней и найти корни уравнения. в) х x + 9 = 0; x 1 = -9 и x 2 = -1,так как g = 9 > 0 и p = -10 < 0.

11 Десять способов решения квадратного уравнения Способ пятый. Решение уравнений способом «переброски» Рассмотрим квадратное уравнение ax²+bx+c=0, где a 0 Умножая обе его части на а, получаем уравнение а²х² + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х =у/а; тогда приходим к уравнению у²+во+ас=0, равносильного данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 =y 1 /a и х 2 =y 2 /a.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Десять способов решения квадратного уравнения Способ пятый. Решение уравнений способом «переброски»

13 1. Решим уравнение 2 х х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у 2 – 11y + 30 = 0. Согласно теореме Виета Ответ: 2,5; 3. Десять способов решения квадратного уравнения Способ пятый. Решение уравнений способом «переброски»

14 2. Решим уравнение Решение. Используя метод, «переброски», получим уравнение По теореме Виета

15 Десять способов решения квадратного уравнения Способ шестой. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения А. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а Если, а + b + с = 0 (т. е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то x 1 =1, x 2 =c/a 2. Если a - b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = - 1, x 2 = -c/a

16 Примеры. 1. Решим уравнение 345 х х = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 ( = 0), то Ответ: 1;.

x 2 – 247x = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 ( = 0), то Ответ: 1 ;.

18 Б. Если второй коэффициент b = 2k - четное число, то формулу корней можно записать в виде

19 Пример. Решим уравнение Зx х + 16 = 0. Решение. Имеем: а = 3, b = - 14, с = 16, k = - 7; D = k 2 - ac = (- 7) = = 1, D > 0, два различных корня; Ответ: 2;.

20 Пример. Решим уравнение х 2 – 14x -15 = 0. Решение. Имеем: Ответ: х 1 = 15, х 2 = - 1.

21 Д есять способов решения квадратного уравнения Способ седьмой. Графический способ решения квадратного уравнения. Если в уравнении x 2 +px+q = 0 перенести второй и третий члены в правою часть, то получим х 2 = - рх - q. Введем функции и В одной системе координат построим графики этих функций.

22 Построим графики зависимостей у = х 2 и у = - рx - q. График первой функции - парабола, проходящая через начало координат. График второй функции - прямая (рис. 1). Возможны следующие случаи: - прямая и парабола могут пересекаться в двох точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; - прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т. е. уравнение имеет одно решение; - прямая и парабола не имеют общих точек, т. е. квадратное уравнение не имеет корней.

23 1. Решим графически уравнение х 2 – 3x - 4 = О (рис. 2). Решение. Запишем уравнение в виде x 2 = 3x + 4. Построим параболу у = х 2 и- прямую у = 3x + 4. Прямую у = Зх + 4 можно построить по двом точкам М(0; 4) и N(3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двох точках А и В с абсциссами х 1 = - 1 и х 2 = 4. Ответ: x 1 = - 1, х 2 = 4. Десять способов решения квадратного уравнения Способ седьмой. Графический способ решения квадратного уравнения.

24 Десять способов решения квадратного уравнения Способ седьмой. Графический способ решения квадратного уравнения 2. Решите графически уравнение х 2 – 2 х + 1 = 0. Представим уравнение в виде х 2 = 2 х – 1. Построим параболу y=x 2 и прямую y = 2x – 1 в одной системе координат. Прямую построим по двом точкам M(0;1) и N(1/2;0). Прямая и парабола имеют одну общую точку с абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.

25 Десять способов решения квадратного уравнения Способ седьмой. Графический способ решения квадратного уравнения 2. Решите графически уравнение х 2 – 2 х + 5 = 0. Построим параболу y=x 2 и прямую y = 2x – 5 в одной системе координат. Прямую построим по двом точкам M(0; -5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют общих точек пересечения. Данное уравнение корней не имеет. Ответ; корней нет.

26 Десять способов решения квадратного уравнения Проблема: по данным действительным коэффициентам a, b и c уравнения ax 2 + bx +c = 0 определить радиус и координаты центра окружности, пересекающей ось Ох в точках, абсциссы которых являются корнями данного уравнения (a 0). Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Способ восьмой. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

27 Способ нахождения корней квадратного уравнения ax 2 + bx +c = 0 с помощью циркуля и линейки 1. Выберем систему координат. 2. Построим точки S (- ; ) – центр окружности и А(0;1). 3. Проведем окружность радиусом SA. b 2a a + c 2a Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох являются корнями данного квадратного уравнения Абсциссы точек пересечения окружности с осью Ох являются корнями данного квадратного уравнения А S O x y x1x1x1x1 x2x2x2x2

28 Где может применяться приведенный способ нахождения корней квадратного уравнения? С помощью этого способа решения квадратного уравнения легко провести исследование его корней на знак. х 2 х 2 х 1 х 1 х у Корни имеют разные знаки х 1 х 1 х 2 х 2 х у Корни имеют одинаковые знаки у х 1 х 1 х 2 х 2 ОО О у х х 1 х 1 х 2 х 2 О х у х 2 х 2 х 1 х 1

29 Алгебраическая интерпретация решения квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Уравнение ax 2 + bx + c =0 эквивалентно системе уравнений ax 2 + dc +c +ay 2 – (c + a)y = 0; ( окружность ) y = 0.( прямая – ось Ох ) В пересечении получается точка (x 1 ;0), где x 1 - корни квадратного уравнения.

30 Решение с помощью циркуля и линейки следующего уравнения: 1. х 2 – 2 х – 3 = 0 1 х у S(1;-1) 3 Определяем координаты центра окружности по формулам: х = - = - = 1 b 2a -2 2* 1 y = = = - 1 a + b 2a * 1 Проведем окружность с центром S (1 ; -1); R = SA = 1. Ответ: х 1 = -1; х 2 = 3. A

31 Решение с помощью циркуля и линейки следующего уравнения: 2. х 2 – 5 х +4 = 0 Определяем координаты центра окружности по формулам: х = - = - = 2,5 в 2 а -5 2*1 Ответ: х 1 =1; х 2 = 4. у = = = = 2,5 а + в 2 а *1 2 Проведем окружность с центром S (2,5; - 2), R = SA = 1. А S(2,5; 2,5) x y O14 5

32 Решение с помощью циркуля и линейки следующего уравнения: 3. х х = 4 = 0, Определим координаты точки – центра окружности по формулам: х = - b / 2a = -2, y =(a + c)/2a = 2,5. -2 S(2; 2,5) y 0 x Проведем окружность радиусом SA, A(0;1)/ Ответ: х = -2.

33 Решение с помощью циркуля и линейки следующего уравнения: 4. х 2 -2 х + 3 = 0. Определим координаты центра окружности по формулам х = - b / 2a = 1, y =(a + c)/2a = 2. Проведем окружность радиусом SA, где А(0;1) S(1;2) A 01 x y Ответ: уравнение не имеет корней.

34 Десять способов решения квадратного уравнения Способ девятый. Решения квадратных уравнений с помощью номограммы. Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений. Он описан в книге Брадиса В.М. «Четырехзначные математические таблицы» (М.,Просвещение,1990).

35 Десять способов решения квадратного уравнения Способ девятый. Решения квадратных уравнений с помощью номограммы. Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

36 Десять способов решения квадратного уравнения Способ девятый. Решения квадратных уравнений с помощью номограммы. Примеры. 2. 2z 2 - 9z + 2 = 0; z 2 - 4,5z + 1 = 0; номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 =0,5. 1. Для уравнения z 2 - 9z + 8 = 0; номограмма дает корни z 1 = 8 и z 2 = 1.

37 Десять способов решения квадратного уравнения Способ девятый. Решения квадратных уравнений с помощью номограммы. 3. Для уравнения z 2 + 5z - 6 = 0 номограмма дает положительный корень z 1 =1, а отрицательный находим, вычитая положительный корень из –p, т.е. z 2 = -p -1 = -5 – 1= Для уравнения z 2 - 2z - 8 = 0 номограмма дает положительный корень z 1 = 4, а отрицательный находим, вычитая положительный корень из –p, т.е. z 2 = -p - z 1 = 2 – 4 = - 2.

38 Десять способов решения квадратного уравнения Способ девятый. Решения квадратных уравнений с помощью номограммы. 5. Для уравнения z 2 +4z + 3 = 0, оба корни которого отрицательные числа, берем z 1 = -t и находим по номограмме два положительных корня t 1 и t 2 уравнения t 2 - 4t + 3 = 0, это t 1 =1 и t 2 =3, а затем z 1 = - t 1 = - 1 и z 2 = - t 2 = - 3.

39 Десять способов решения квадратного уравнения Способ девятый. Решения квадратных уравнений с помощью номограммы. Если коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, то выполняют подстановку z = kt и решают с помощью номограммы уравнение где k берут с таким расчетом, чтобы имело место неравенства и

40 Десять способов решения квадратного уравнения Способ девятый. Решения квадратных уравнений с помощью номограммы. 6. Для уравнения z z +66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы. Выполним подстановку z = 5t, получим уравнение t 2 -5t + 2,64 = 0, которое решаем посредством номограммы. Получим t 1 =0,6 и t 2 =4,4; z 1 = 5t 1 = 5 * 0,6 = 3; z 2 = 5t 2 = 5 * 4,4 = 22.

41 Десять способов решения квадратного уравнения Способ десятый. Геометрический способ р ешения квадратных уравнений. В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически.

42 у 2 у 2 3 у 9 Как греки решали уравнение y 2 + 6y - 16 = 0 3 у у 3 Выражения у 2 + 6y + 9 и геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение и уравнение y 2 + 6y = 0 – одно и то же уравнение. Получаем: (у + 3) 2 = 25; у + 3 = ± 5; у = 2; у = -8. y у = 16 или у 2 + 6y + 9 =

43 (у-3) 2 3(у-3) 9 Как греки решали уравнение y 2 - 6y - 16 = 0 3 у у 3 Получаем: (у - 3) 2 = 25; у - 3 = ± 5; у = -2; у = 8. y у = 16 или Из площади квадрата со стороной у два раза вычитаем площадь прямоугольника со сторонами 3 и у-3 и площадь квадрата со стороной 3. Получаем площадь квадрата со стороной у-3. у 2 - 3(у-3) - 3(у-3) – 9 = =у у у + 9 – 9 = = у у + 9 = (у -3) 2 ; у 2 - 6y + 9 =

44 Десять способов решения квадратных уравнений. Десять способов решения квадратных уравнений. Способ первый. Разложение левой части уравнения на множители. Способ второй. Метод выделения полного квадрата. Способ третий. Решение квадратных уравнений по формуле. Способ четвертый. Решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной). Способ пятый. Решение уравнений способом «переброски». Способ шестой. Применение свойств коэффициентов квадратного уравнения. Способ седьмой. Графический способ решения квадратного уравнения. Способ восьмой. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки. Способ девятый. Решения квадратных уравнений с помощью номограммы. Способ десятый. Геометрический способ решения квадратных уравнений. На смену приходят информационные технологии Способ первый. Способ второй. Способ третий. Способ четвертый. Способ пятый. Способ шестой. Способ седьмой. Способ восьмой. Способ девятый. Способ десятый. информационные технологии

45 Программа для решения квадратного уравнения в общем виде. Алгоритм и блок-схема: 1. Ввести a, b, c; 2. Присвоить d = b 2 - 4ac; 3. Если d<0 перейти к 8; 4. Присвоить x1 = (-b - SQRT(d)) / 2*a); 5. Присвоить x2 = (-b + SQRT(d)) / 2*a); 6. Выдать x1, x2; 7. Перейти к 9; 8. Выдать "Действительных решений нет"; 9.Закончить.

46 Существоют программированные калькуляторы, с помощью которых можно решать квадратные уравнения. Квадратное уравнение можно решать с помощью программы «Универсальный математический решатель. Версия » (г. Екатеринобург, «Бука», 2007 г.). Существоют и другие программы для решения квадратных уравнений.

47 В результате выполнения работы были изучены способы решения квадратных уравнений разными способами: 1. разложение левой части уравнения на множители, 2. метод выделения полного квадрата, 3. решение квадратных уравнений по формуле, 4. решение уравнений с использованием теоремы Виета (прямой и обратной), 5. решение уравнений способом «переброски», 6. применение свойств коэффициентов квадратного уравнения, 7. графический способ решения квадратного уравнения, 8. решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, 9. решения квадратных уравнений с помощью номограммы, 10. геометрический способ решения квадратных уравнений.

48 Опрос одноклассников Наиболее сложными оказались следующие способы: разложение левой части уравнения на множители, метод выделения полного квадрата. Рациональные методы решения: решение квадратных уравнений по формуле; решение уравнений с использованием теоремы Виета (когда коэффициенты небольшие числа). Крайне редко применяется графический способ решения квадратного уравнения. Практического применения не имеет геометрический способ решения квадратных уравнений. Никогда раньше не слышали о способах: применение свойств коэффициентов квадратного уравнения; с помощью номограммы; решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки; способ «переброски» (этот способ вызвал интерес у учеников).

Результаты опроса учащихся 9 классов Наиболее сложными оказались следующие способы: разложение левой части уравнения на множители, метод выделения полного квадрата. Рациональные методы решения: решение квадратных уравнений по формуле; решение уравнений с использованием теоремы Виета (когда коэффициенты небольшие числа). Крайне редко применяется графический способ решения квадратного уравнения. Практического применения не имеет геометрический способ решения квадратных уравнений. Никогда раньше не слышали о способах: применение свойств коэффициентов квадратного уравнения; с помощью номограммы; решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки; способ « переброски » (этот способ вызвал интерес у учеников).

50 1. Алимов Ш.А. Ильин В.А. и др. Алгебра, Пробный учебник для 6 – 8 классов средней школы. - М. Просвещение Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре, М., Просвещение 1996 г. 3. Дорофеев Г.В. и др.Математика. Алгебра, Функции. Анализ данных. 8 класс. Учебник для общеобразовательных школ.,М.,Дрофа,2004 г. 4. Макарычев Ю.Н. И др. Алгебра. 8 класс. Под редакцией Теляковского С. А. М., Просвещение, 2002 г. 5. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. М.,Просвещение,2003 г. 6. МордковичА.Г. Алгебра.8 класс. Учебник для общеобразовательных школ. М. Просвещение.2002 г.